初中数学解题中数形结合思想的应用

【摘要】数学作为我国课程体系中的两大基础课程之一，通常分为“数”和“形”两大部分，两者是存在一定联系的，这种联系便是数形结合思想.在初中数学教学中，不仅讲授理论知识时可应用数形结合思想，在解题过程中也可以巧妙应用，教师需指导学生学会应用数形结合思想解题，培养他们的解题能力.本文据此展开深入分析和研究，同时罗列部分解题实例.

【关键词】初中数学解题；数形结合思想

在数学领域，数形结合思想是一种相当关键的解题思想，不仅适用范围广泛，还极具实用性，是用来准确、快速解答数学试题的重要思想之一.在初中数学解题训练中，教师应引导学生根据题目实际情况应用数形结合思想，把一些比较复杂和抽象的试题变得简单、直观，由此降低解题难度，使其轻松完成解题，并有效培养与增强他们的思维敏捷度及灵活性.

1 应用以数解形方法，明确数理关系规律

针对初中数学解题教学来说，应用数形结合思想时，主要分为以数解形与以形助数两种方式，其中前者适用于处理复杂、抽象的几何图形类试题，可通过数字对图形进行重新定义，先结合数理关系展示图形的特征，再借助数字展开运算，只要明确数字和数理关系，便能够掌握图形的特征，找到数理规律，难题也就迎刃而解，最终顺利、轻松地完成解题.

例1 在图1中，有一个边长为4的正方形ABCD，点E是BC边的中点，点F是对角线BD上面的一个动点，那么△CEF的最小周长值是多少？

分析处理这一几何图形类的试题时，通过观察发现要想求得△CEF的最小周长值，只需求出EF+FC的最小值即可，要想求得EF+FC的最小值，纯粹使用几何知识难度较大，这时可应用数形结合思想中的以数解形方法，联想到数学中的“取中修路”模型，特征是“两定一动”，其中BD为“路”，点E和点C是“路”一侧的定点，点F是动点，可添加辅助线把AF连接起来，AF与FC关于BD轴对称，长度一样，EF+FC的最小值就是EF+AF的最小值，而AE与BD的交点F′即为△CEF有最小周长值时点F的位置，便通过求出EF+AF的最小值得到答案.

详解 根据题意可知AB=4，BE=EC=2，C△CEF=CE+EF+FC，

由于EC是固定值，当EF+FC有最小值时，△CEF的周长值最小，

将AF连接起来，则AF与FC关于BD轴对称，AF=FC，

那么EF+FC=EF+AF，

由于点F是对角线BD上面的一个动点，

则EF+AF≥AE，

当A，F，E三点共线时，EF+AF有最小值，

即为AE与BD的交点F′就是△CEF最小周长值时点F的位置，

这时EF+AF=AE=42+22=20=25，

所以△CEF的周长最小值是EC+AE=2+25.

2 应用以形助数方法，巧妙处理数理关系

在初中数学解题训练中，应用数形结合思想解答试题的另外一种方法就是以形助数，指的是当遇到比较复杂的数理或者数字关系时，教师可以引导学生转变思路与思考方向，通过直观化、形象化的图像将这些关系给展示出来，降低题目的抽象程度，易于理解题意，使其通过观察图像的特点确定解题方向，找到处理数理关系的思路，助推他们求得正确结果.

例2 已知a2+b2=5，那么2a+3b的最大值是什么？

分析 这是一道典型的代数类计算试题，如果纯粹是进行计算很难得到结果，不过可应用数形结合思想中的以形助数方法进行解题，先观察式子a2+b2=5，发现表示的是一个圆形，可在横轴是a，纵轴是b的平面直角坐标系里面以原点O为圆心画出一个圆，其中圆的半径是5；再观察式子2a+3b，将原式转变成几何形式进行表示，令m=2a+3b，能够得到b=－23a+13m，由此说明a，b之间为一次函数关系，而且这个一次函数的图像在圆的范围内即可求出m的最大值，即为一次函数b=－23a+13m同纵轴交点的纵坐标最大值，只有当该一次函数的图像同圆是相切关系时，才有最大值，此时可根据题意画出示意图，且根据题意在示意图上面标出相应的数值，然后列式完成解答.

详解结合题意可画出图2，其中圆的式子是a2+b2=5，半径是5，

令m=2a+3b，

那么b=－23a+13m，

当直线b=－23a+13m与圆a2+b2=5相切时m有最大值，

这时直线同横轴的交点坐标是（12m，0），同纵轴的交点坐标是（0，13m），

在△AOB中，根据勾股定理能够得到：

AB=OA2+OB2=（13m）2+（12m）2

=136m，

那么S△AOB=12×13m6×5

=12×13m×12m，

则m=65，

所以2a+3b的最大值是65.

3 结语

总的来说，在初中数学解题教学活动中，数形结合思想是一种既常用又有效的解题思想，从本质上来讲，就是把“数”与“形”这两个重要因素结合起来.教师需引导学生根据具体题目合理应用以数解形或者以形助数的方法，通过数形之间的良好转变与互通找到解题的切入点，使其形成简洁、明了的解题思路，帮助他们高效率地解答试题.

参考文献：

[1]魏莉红.探究数形结合思想在初中数学解题中的运用路径[J].数学之友，2024（01）：67-69+72.

[2]赵银凤.初中数学教学中渗透数形结合思想路径探析[J].学苑教育，2023（21）：57-58+61.

[3]袁健风.数形结合思想在初中数学解题中的应用策略[J].数学大世界（下旬），2023（07）：68-69.