例谈二次函数解析式的求解方法

【摘要】本文通过实例探讨二次函数解析式的求解方法，包括一般式法、顶点式法、两根式法、平移变换法、对称变换法等．通过具体的实例，展示这些方法的应用和优缺点，以便读者更好地理解和掌握二次函数解析式的求解．

【关键词】初中数学；二次函数；解题方法

二次函数是数学中一个重要的概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用．求解二次函数解析式是数学学习中的一个重要内容，也是解决许多实际问题的关键．本文将通过实例，详细介绍二次函数解析式的求解方法．

1 一般式法求二次函数解析式

例1 一个二次函数，当x＝0时，y＝-5；当x＝-1时，y＝-4；当x＝-2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）

（A）y＝4x2+3x-5．

（B）y＝2x2+x+5．

（C）y＝2x2-x+5．

（D）y＝2x2+x-5．

解析 设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），

因为当x＝0时，y＝-5；

当x＝-1时，y＝-4；

当x＝-2时，y＝5，

所以 c＝-5①，

a-b+c＝-4②，

4a-2b+c＝5③，

解由①②③组成的方程组得，

a＝4，b＝3，c＝-5，

所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x-5．

故选（A）．

点评 本题运用了一般式法求解二次函数的解析式．先设二次函数解析式的一般式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．

2 顶点式法求二次函数解析式

例2 某抛物线和抛物线y=－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是－1，3，则该抛物线的解析式为（ ）

（A）y=－2x2+4x+1．

（B）y=－2x2－4x+1．

（C）y=－4x2－4x+2．

（D）y=－4x2+4x+2．

解析 根据二次函数顶点式y=ax+h2+b，对应可得抛物线的解析式为y=－2x+12+3=－2x2－4x+1．

故选（B）．

点评 本题主要考查了运用顶点式法求二次函数的表达式，解题的关键是能够根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式来求解．直接利用顶点式写出抛物线的解析式，即可得出答案．

3 两根式法求二次函数解析式

例3 如图1所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A1，0，B3，0，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点Mx1，y1，Nx2，y2是抛物线上不同的两点且x1+x2=6x1－x2，求y1－y2的最小值．

解析 （1）设抛物线的表达式为：

y=ax－x1x－x2，

由题意可得：x1=1，x2=3，

所以y=ax－1x－3=a（x2－4x+3），

所以3a=3，

解得a=1，

故抛物线的表达式为y=x2－4x+3.

（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x=2，

①若点M、N关于抛物线对称轴对称，

则y1=y2，

所以y1－y2=0，

②y1－y2=x21－4x1+3－x22－4x2+3

=x1+x2x1－x2－4x1－x2，

因为x1+x2=6x1－x2，

所以y1－y2=x1+x2（x1－x2）－4（x1－x2）

=6x1－x2x1－x2－4x1－x2

=6x1－x2－132－23≥－23，

即y1－y2的最小值为－23．

点评 本题给出了抛物线与坐标轴的两个交点坐标A1，0和B3，0，可设抛物线的解析式为y=ax－x1x－x2，再结合题设条件求解函数解析式；第（2）问中，y1－y2=x1+x2x1－x2－4x1－x2，x1+x2=6x1－x2，得到y1－y2的函数表达式，即可求出结果．

4 平移变换法求二次函数解析式

例4 在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（-1，a），若抛物线C1的表达式为y=mx2－6mx+n（m≠0），则抛物线C2的顶点坐标为（ ）

（A）（-4，n-9m）．

（B）（-4，9m-n）．

（C）（-5，n-9m）．

（D）（-5，9m-n）．

解析 因为y=mx2－6mx+n（m≠0），

所以y=mx－32+n－9m，

因为抛物线C1的顶点坐标为（3，n-9m），

因为（-1，a）在抛物线C1的图象上，

所以a=m－1－32+n－9m，

解得a=7m+n，

因为抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，

所以设抛物线C2的解析式为

y=mx－k2+n－9m，

因为（-1，a）也在抛物线C2的图象上，

所以a=m－1－k2+n－9m，

所以7m+n=m－1－k2+n－9m，

因为m≠0，

所以解得k=3或－5，

所以抛物线C2的顶点坐标为（-5，n-9m）或（3，n-9m）（点C1，舍去），

故选（C）．

点评 本题考查了抛物线的平移规律，根据平移规律设出平移后抛物线的解析式是解题的关键．先把抛物线C1的表达式化为顶点式，得到顶点坐标，然后代入交点坐标求得a的值，根据平移规律设抛物线C2的表达式，再代入交点坐标即可求解．

5 对称变换法求二次函数解析式

例5 我们定义：二次项系数之和为1，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数，求y=2x2+4x的友好函数的解析式．

解析 函数y=2x2+4x的对称轴为x=－1，

设y=2x2+4x的友好函数是y=ax2+bx，

所以2+a=1－b2a=－1，

所以a=－1b=－2，

所以y=2x2+4x的友好函数是y=－x2－2x.

点评 本题主要考查了利用对称变换求二次函数解析式，解题的关键是读懂“友好对称二次函数”的定义．函数y=2x2+4x的对称轴为x=－1，设y=2x2+4x的友好函数是y=ax2+bx，根据二次项系数之和为1，图像都经过原点且对称轴相同可列出方程组，解方程组即可求出所求解析式．

6 结语

二次函数解析式的求解方法有多种，每种方法都有其适用的条件和优缺点，理解和掌握这些方法对于数学学习和实际问题解决都非常重要．通过具体的例子和解析，可以更好地理解和掌握这些方法的应用和优缺点．

参考文献：

[1]徐铭.谈二次函数解析式求解策略——待定系数法[J].数理化解题研究（初中版），2014（07）：8.

[2]华腾飞.二次函数解析式的常用求法[J].数学大世界（初中版），2013（09）：25.

[3]王银苑.二次函数解析式妙解五法[J].考试周刊，2011（57）：72-73.

[4]黄新家.二次函数解析式的求解方法[J].考试（中考版），2006（04）：13-14.