例谈二次函数中面积最值问题的求解方法

【摘要】二次函数作为中学数学的重要内容，在数学领域中具有广泛的应用．其中，涉及二次函数的面积最值问题是常见的题型之一．本文通过实例分析，探讨求解二次函数中面积最值问题的方法，旨在帮助学生掌握有效的解题策略，提高数学思维能力和解题技巧．

【关键词】二次函数；初中数学；解题方法

1 未知参数函数上形成三角形面积的最值问题

例1 已知抛物线y=ax2－5ax+c与y轴交于点C，与直线y=mx+n交于点A－3，0和点B5，4，如图1所示．

（1）求直线与抛物线的解析式以及C点的坐标；

（2）如果点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，求△MAB的最大面积．

解析 （1）把点A－3，0和点B5，4代入y=ax2－5ax+c中，

得9a+15a+c=025a－25a+c=4，

解得a=－16c=4，

所以y=－16x2+56x+4，

把点A－3，0和点B5，4代入y=mx+n中，

解得m=12n=32.

所以y=12x+32，

当x=0时，y=－16x2+56x+4=4，

所以C0，4．

（2）过点M作MF⊥x轴于点F，交直线AB于点E，过点B作BN⊥x轴于点N，如图2.

设M（t，－16t2+56t+4），

则E（t，12t+32），

S△MAB=S△AME+S△BME

=12ME×AF+12ME×FN

=12ME×AN

=12（－16t2+56t+4－12t－32）×8

=－23t2+43t+10

=－23t－12+323.

因－23<0，所以△MAB的最大面积是323．

点评 本题主要考查了抛物线的顶点公式的运用及三角形最大面积的求法．第（2）问中，过点M作MF⊥x轴，交直线AB于点E，设M、E两点的横坐标为t，分别用抛物线、直线的解析式表示两点的纵坐标，根据S△MAB=S△AME+S△BME，列出关于m的二次函数，求二次函数的最大值就是最大面积的值．

2 抛物线上的动点与两个定点形成三角形的最大面积

例2 如图3，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C4，3，已知A点的坐标为1，0．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点E是此抛物线上且位于直线AC下方的一个动点，求△ACE的最大面积以及E点的坐标．

解析 （1）把1，0，4，3代入y=ax2+bx+3，

得a+b+3=016a+4b+3=3，

解得a=1b=－4.

所以抛物线的解析式为y=x2－4x+3.

（2）如图4，过E作DE⊥x轴交AC于点D.

设过A1，0，C4，3的直线为y=mx+n.

所以m+n=04m+n=3，

解得m=1n=－1.

所以直线AC的解析式为y=x－1.

当y=0，则x2－4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

所以B3，0，而C4，3，

所以xC－xA=4－1=3.

设Ex，x2－4x+3，

则Dx，x－1，

所以DE=x－1－x2－4x+3=－x2+5x－4，

所以S△ACE=12×3－x2+5x－4=－32x2+152x－6.

所以当x=－1522×－32=52时，△ACE的面积最大，

最大面积为：S△ACE=－32×254+152×52－6=278.

此时：y=254－4×52+3=－34．

所以E52，－34．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式的方法，根据二次函数的性质求面积最大值的方法，掌握利用二次函数的性质求解最值是解题的关键．

3 结语

通过以上实例分析可以看出，求解二次函数中面积最值问题需要综合运用多种数学知识和方法．在实际解题过程中，学生应根据具体问题的特点，选择合适的方法．同时，随着数学知识的不断深入学习，还会有更多更高级的数学工具和方法可以应用到这类问题的求解中．教师在教学过程中，应注重培养学生的数学思维能力和创新意识，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题．