整体代换思维在初中数学解题中的应用技巧

【摘要】随着教育改革的深入，培养学生的思维能力已成为我国基础教育的重要目标之一.在初中数学教学中，运用整体代换思维解决实际问题，既符合新时代教育的要求，也有助于提高学生的数学素养和创新能力.整体代换思维作为一种实用的解题方法，可以帮助学生快速找到问题的本质，避免陷入繁琐的计算.教师在教学中应注重引导学生运用整体代换思维，以期为学生的数学学习奠定坚实基础.本文将探讨整体代换思维在初中数学解题中的应用技巧.

【关键词】初中数学；整体代换；解题技巧

1 引言

在初中数学解题中，整体代换思维是一种非常实用的技巧，通过整体代换思维，学生可以更好地理解问题，更快地找到解题方法，从而提高解题效率.同时，整体代换思维也有助于培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养.因此，在初中数学教学中，教师应该注重培养学生的整体代换思维，让学生在解题中更好地运用这种技巧.笔者以一道几乎无法直接计算的经典例题，探讨整体代换思想的必要性和便利性.然而在初中数学中，往往很多可以直接计算的题目，也可以使用整体思维进行代换求解.

2 整体代换思维概述

整体代换思维是一种独特的思考方式，其核心在于将复杂问题中的某个部分或整体视为一个可以整体替换或操作的单元.这种思维方式突破了传统思维中逐一分析细节的局限，使得学生能够以更加宏观和全局的视角来看待和解决问题.在实际应用中，整体代换思维鼓励我们首先识别出问题的核心结构和关键要素.通过对这些要素进行深入分析，可以找到一个与之相匹配的新整体，来替代原有部分或整体，从而简化问题处理过程.这种思维方式不仅提高了解决问题的效率，还促进了创新思维的发展，因为学生需要不断寻找和构建新的整体来适应不同的情境和问题.此外，整体代换思维还强调了对整体与部分之间关系的理解.它让学生意识到，在某些情况下，整体的功能和性质并非简单地由其各个部分相加而成，而是由整体结构本身所决定.因此，学生在解决问题时，需要关注整体的结构和特性，以更加全面和深入地理解问题.

3 试题呈现

已知抛物线y=x2+2a+1x+2a+54的顶点在x轴上.

（1）求a的值；

（2）求

a8+a6－a5+a4－2a3－2a2a16+a12+a8－a7－a6+2a4－a3+2a2－3a－2的值.

4 思路分析

本题第一问较为简单，通过题目所给条件，可判定该抛物线方程判别式为0，即方程有两个相等的实数根，从而可求出a的值；然而第二问中，最高出现了a8，理论上来讲，很难通过直接求解的方法进行解题，即使a为整数，也不便于求解，而通过第一问的分析，出现判别式，最终a的解大概率带着根号，因此，直接求解更加不可能.因此，可由（1）得a相关的表达式，然后通过变形，整理出与（2）中相关的等式，进行整体代入求解.

5 解题探究

（1）因为y=x2+2a+1x+2a+54的顶点在x轴上，所以方程x2+2a+1x+2a+54=0有两个相等的实数根，所以Δ=（2a+1）2－42a+54=0，所以a2－a－1=0，解得a1=1+52，a2=1－52.

（2）因为a2－a－1=0，a≠0，所以a－1a=1，根据完全平方式，有a4+1a4=a－1a2+22－2=7，因此a8+1a8=a4+1a42－2=47.

所以a8+a6－a5+a4－2a3－2a2a16+a12+a8－a7－a6+2a4－a3+2a2－3a－2.

=a8+a4a2－a－1+2a2a2－a－1a16+a12+a6a2－a－1+a2a2－a－1+a4+3a2－a－1+1.

=a8a16+a12+a4+1.

=1a8+a4+1a4+1a8.

=154.

6 解后反思

本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、代数式求值等知识点，整体代换思维是解答本题的关键.第（2）问中得到正确答案的过程并不是先直接求出a4+1a4与a8+1a8的值，而是先通过题目的设问进行整理，首先讨论是否有a2－a－1或者a2－a类似代数式的出现，如出现上述代数式，则进行整体代换，简化过程.然后再对简化后的式子进行观察整理，倒推出需要求解的代数式为a4+1a4与a8+1a8，在求解这两个代数式的过程中，同样需要进行整体代换.

综上所述，整体代换思维在初中数学解题中具有极高的应用价值.通过运用整体代换思维，学生可以更快地找到解题方法，提高解题效率.同时，这种思维方式也有助于培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养.因此，教师应在教学中注重引导学生运用整体代换思维，让学生在解题过程中更好地把握问题本质，从而为今后的数学学习打下坚实基础.

参考文献：

[1]程小芹.整体思想在初中数学解题中的应用 [J]. 语数外学习（初中版）， 2020（04）： 28-29.

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