一道创新中考题的解答与启示

【摘要】21世纪世界各国科技的竞争是创新人才的竞争.因此，一般试题的命题强调对基础知识与基本技能、基本方法、基本经验的考查，同时注重对创新意识、创新素养、创新能力的考查.因此，在数学教学过程中，我们要对典型的创新试题进行分析与解答，帮助学生加深对概念的理解、方法的掌握与运用，培养学生分析问题、解决问题的能力，提升学生的创新能力和数学核心素养.

【关键词】初中数学；创新试题；解题技巧

1 试题呈现

（2024·湖南中考模拟）已知x为自变量，y是x的函数，规定：在t－12≤x≤t+12范围内，y有最小值是N，最大值是M，令函数h=M－N2，函数h叫做y的“关联函数”.

（1）如果y为一次函数，即y=kx+b（k≠0），请求出y的“关联函数”h的函数表达式；

（2）如果y为反比例函数，即y=2x（x≥1），请求出y的“关联函数”h的最大值；

（3）如果y为二次函数，即y=－x2+4x+k，请说明是否存在实数k，使得y的最大值等于y的“关联函数”h的最小值.若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.

2 试题解析

解 （1）因为y=kx+b（k≠0），其性质与k的正负有关，因此要对k的符号进行分类讨论.

对于函数y=kx+b，当k＞0时，显然在t－12≤x≤t+12范围内，y随x的增大而增大，有最值，

所以M=kt+12+b，

N=kt－12+b，

所以h=M－N2=k2.

当k＜0时，同理有M=kt－12+b，

N=kt+12+b，

所以h=M－N2=－k2.

综上，当k＞0时，h=k2；

当k＜0时，h=－k2.

（2）对于反比例函数y=2x（x≥1），

因为2＞0，x≥1，函数在第一象限内，y随x的增大而减小，所以t－12≥1，

解得t≥32，

当t－12≤x≤t+12时，

所以M=2t－12=42t－1，

N=2t+12=42t+1，

所以h=M-N2=1242t-1-42t+1

=22t+1-22t-12t-12t+1

=42t-12t+1

=44t2-1.

因为当t≥32时，4t2－1随t的增大而增大，

所以当t=32时，4t2－1取得最小值，此时h取得最大值，

最大值为h=4（2t-1）（2t+1）=42×4=12.

（3）对于函数y=－x2+4x+k=－（x－2）2+4+k，

a=－1＜0，抛物线开口向下，

当x＜2时，y随x的增大而增大；

当x＞2时，y随x的增大而减小；

当x=2时，函数y的最大值为4+k.

在t－12≤x≤t+12时，

①当t+12＜2时，即t＜32时，

N=－t－122+4t－12+k，

M=－t+122+4t+12+k，

所以h=M-N2

=12-t+122+4t+12+k-

-t-122+4t-12+k=2-t，

所以h的最小值为12（当t=32时），

若12=4+k，解得k=－72，但t＜32，

故k=－72不合题意，故舍去.

②当t－12＞2时，即t＞52时，

M=－t－122+4t－12+k，

N=－t+122+4t+12+k，

所以h=M－N2=t－2，

所以h的最小值为12（当t=52时），

若12=4+k，解得k=－72，但t＞52，

故k=－72不合题意，故舍去.

③当t－12≤x≤t+12时，即32≤t≤52时，

M=4+k.

a.当2－t－12≥t+12－2时，

即32≤t≤2时，

N=－t－122+4t－12+k，

h=M－N2

=4+k+（t－12）2－4（t－12）－k2

=12t2－52t+258，

因为对称轴为t=52，12＞0，抛物线开口向上，

在32≤t≤2上，当t=2时，h有最小值18，

所以18=4+k，解得k=－318.

b.当2－t－12≤t+12－2时，

即2≤t≤52时，M=4+k.

N=－t+122+4t+12+k，

h=M－N2=12t2－32t+98，

因为对称轴为t=32，12＞0，抛物线开口向上，

在2≤t≤52上，当t=2时，h有最小值18，

所以18=4+k，

解得k=－318.

综上，当t=2时，存在k=－318.

3 结语

在教学中，教师要重视知识的形成过程，在函数的学习中，通过实际问题帮助学生理解概念，掌握函数的增减性及最值等相关性质，教会学生如何结合图象分析函数的最大（小）值，在理解的基础上记忆，在理解的基础上运用，从而掌握知识的本质，无论是在新概念题型还是其他题型中，学生都能灵活运用知识解决问题，以达到培养学生能力的目的.