一次函数背景下“一线三等角”模型的应用探究

【摘要】“一线三等角”模型是初中数学非常重要的一个模型，一次函数也是初中数学非常重要的内容，本文旨在一次函数背景下，通过“一线三等角”模型分析并解决问题，从而更好地渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法，为培养学生的几何直观、逻辑推理等核心素养奠定基础.

【关键词】一线三等角；一次函数；初中数学

1 引言

代数与几何是中学里非常重要的知识，初中数学更是以二者为主，多地中考数学考试常出现以“一线三等角”模型解决问题的题目，这类题目既考查学生对基础知识和基本技能，又考查学生数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用，还检验学生的几何直观、逻辑推理等核心素养[1].

2 真题呈现

例1 （2022年安徽省中考试题填空题最后一题[2]）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G，连接DF，请完成下列问题：

（1）∠FDG=°；

（2）若DE=1，DF=22，则MN=.

上述真题是“一线三等角”模型在初中数学问题中一次精彩的应用，教学中，及时归纳如“一线三等角”等数学模型，注重培养学生的模型观念，有利于增强学生的数学能力，提升学生的数学核心素养[3].

3 模型提取

类型1 同侧一线三等角

点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，图2中的三等角为锐角，图3中的三等角为直角，图4中的三等角为钝角.

类型2 异侧一线三等角

点P在线段AB的延长线上，∠1=∠2=∠3，其中∠1，∠2居于直线AB的两边，∠3为∠CPD，图5中的三等角为锐角，图6中的三等角为直角，图7中的三等角为钝角.

上述每一个图形中都可以证得△CAP∽△PBD.若由一般到特殊，在已知条件中添加任意一组对应边相等，可证得△CAP≌△PBD.

4 模型应用

“一线三等角”模型有广泛的应用，可以结合全等、相似、图形变换、动态问题、函数等知识点进行考查.其中挖掘三等角是难点，题目往往将“等角”隐藏[4].本文主要以一次函数为背景，分类探究当模型中相等的三个角分别为直角、锐角和钝角时，如何应用模型解决问题.

4.1 一线三等直角的应用

例2 如图8，已知一次函数y1=3x+3，另一个一次函数y2=kx+b（k≠0）经过点A（－1，0），请解决下列问题：

（1）若y1，y2的图象成90°，求y2的函数表达式；

（2）若y1，y2的图象成45°，求y2的函数表达式；

（3）若y1，y2的图象成30°，求y2的函数表达式；

（4）若y1，y2的图象成60°，求y2的函数表达式.

分析 通过审题发现，一次函数y2=kx+b（k≠0）经过点A（－1，0），只需要求出另外一个点的坐标，即可用待定系数法联立方程组求出表达式，因此关键是如何求出另外这个点的坐标.此时可以考虑作辅助线构造一线三等直角的模型解决问题.

第一问，如图9，过点A作直线AB的垂线，该垂线与y轴交于点C，可以发现△AOC∽△BOA，从而利用相似比求出点C的坐标.此解法对应图6中的模型.当然也可以考虑参考图3中的模型作相应的辅助线，求出直线上某一点的坐标再进行求解.

第二问，考虑到一直线与已知直线的夹角成45°有两种情况，需要分类讨论.

情形1：如图10，过点B作直线AB的垂线，与y2交于点C；过点B作y轴的垂线，再分别过点A、C向该垂线作垂线，分别交于点M和点N，可以发现△AMB≌△BNC，从而求出点C的坐标，进一步可以求出y2的函数表达式.

情形2：如图11，过点B作直线AB的垂线，与y2交于点C；过点C向y轴作垂线，交于点M，可以发现△AOB≌△BMC，从而求出点C的坐标，进一步可以求出y2的函数表达式.两种情形的解法都对应图3中的模型.

第三问、第四问类比第二问，依然需要分类讨论，但各需排除一种与坐标轴垂直的情况，利用三角形的相似性来求出点C的坐标，进一步可以求出y2的函数表达式.

上述例题中，要求的一次函数是经过已知的一次函数上的某一点，如果考虑要求的一次函数，经过的不是已知一次函数上的某一点，该怎么解决呢？

例3 已知一次函数y1=3x+3，另一个一次函数y2=kx+b（k≠0）经过点C（m，n），点C不在y1上，考虑例1中的四种情况，分别求出相应的一次函数y2的函数表达式.

分析 虽然未知的一次函数经过的是已知直线外的一点，但是仍然可以先考虑经过点A的情形（当然也可以是已知直线上任意一点），再根据已知的点C的坐标，进一步求出b的值.这种转化与化归的数学思想方法经常在初中数学学习中用到.

4.2 一线三等锐角的应用

例4 如图12，已知△AOB为等边三角形，点C和点D分别在线段OA和线段AB上， 将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在线段OB上于点E，△OCE和△BDE的面积分别是S1和S2，若S1∶S2=4∶9，OB=6，求直线CD的函数表达式.

分析 由题意可知解题的关键是求出点C和点D的坐标.通过审题判断含有如图2中的一线三等角模型，可知△OCE∽△BED，由S1∶S2=4∶9可知相似比为2∶3，从而可以设未知数求解.不妨设BE的长为3x，由相似比以及△AOB为等边三角形可以分别表示出OE、OC、CA、CE、BD、DA、DE，从而求出线段OC和线段BD的长，再利用△AOB为等边三角形，∠B=∠AOB=60°，分别过点C和点D向x轴作垂线可以构造两个含有60°内角的直角三角形，进而可以求出点C和点D的坐标，从而可求出直线CD的函数表达式.

4.3 一线三等钝角的应用

例5 如图13，已知四边形ABCD为等腰梯形，∠D=60°，点O和点E分别在线段BC和线段DC上，∠AOE=120°，OB∶OC=2∶1，BC=BA=6，求线段OE所在直线的函数表达式.

分析 由题意可知解题的关键是求出点E的坐标，通过审题判断含有如图4中一线三等角模型，可知△ABO∽△OCE，利用相似比可以求出CE的长，再利用∠D=60°，可知过点E向x轴作垂线可以构造一个含有60°内角的直角三角形，进而求出点E的坐标，从而求出直线OE的函数表达式.

5 结语

通过上述问题的探究，我们可以感受到一线三等角模型在一次函数背景下应用的广泛性.用该模型考验学生可以很好地渗透几何直观、逻辑推理等核心素养.本文只是以一次函数为背景，对一线三等角模型的应用进行了探究，各位读者也可以从其他角度进一步进行思考.

【基金项目：泰州学院课程思政示范课程建设项目“运筹与优化”（20KCSZ09）】

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2022．

[2]刘敏.巧用“一线三等角”模型 突破几何压轴难题[J]．中学数学，2022（22）：60-61+64．

[3]曹喜荣．“一线三等角”问题的探究和拓展——以2022年中考数学安徽卷第14题为例[J]．中学数学教学，2023（03）：55-56．

[4]刘玲．正方形背景下“一线三等角”模型的探究[J]．中学数学教学参考，2023（12）：34-36．