巧用整体思想，妙解数学问题

【摘要】 整体思想，顾名思义就是从问题总的层面出发，强调对整体结构的分析与应用，把原本分散的条件或者代数式看作是一个整体，寻找它们之间的关联，并且有目的地进行综合处理.整体思想在初中数学中应用广泛，是解答一些难题的妙招.本文分类举例，说明如何在解题中应用整体思想.

【关键词】整体思想；初中数学；解题方法

1 用整体思想解方程（组）

例1 解方程组：

5（23+y）－8（x－3）=20（1）20（x－3）+5（23+y）=27（2）.

分析 解答此题的常规思路就是去括号、去分母，将其转化为一般的整式方程后求解，但是应用这种思路解答时较为繁琐.观察方程组的结构特征，可以发现式中存在着（23+y）与（x－3）两个整体，因此可以考虑使用整体思想进行处理.

解 （2）－（1）得28（x－3）=7，x－3=14，

则x=134.

将x－3=14整体代入（1）中，

可得y=5615.

所以方程组的解为x=134y=5615.

评析 整体思想在一定程度上与换元法相似.例如本题还可设23+y=mx－3=n，则原方程组变为5m－8n=2020n+5m=27，解出方程组中m，n的值后再根据所设新元的关系式即可求解.

2 用整体思想求代数式的值

例2 已知m2－2m－1=0，求4m－2m2+3的值.

分析 观察条件式中m2－2m与所求式4m－2m2之间的联系，发现后式是前式整体上乘以－2，故可先求出前式，再利用此关系求解后式，之后加上常数3即可得到所求值.

解 因为m2－2m－1=0，

所以m2－2m=1，

即4m－2m2=－2.

则4m－2m2+3=－2+3=1.

评析 求代数式的值常规思路是先根据已知条件求出字母的大小，再代入所求式中进行计算.但是有时字母的值无法求出，如本题，此时就需要考虑其他方法.对比已知条件和所求式可以发现，x2，x前面的系数比相同，则可以进行整体处理.

3 用整体思想进行因式分解

例3 因式分解：（a2+3a+3）（a2+3a+1）+1.

分析 这一类问题题目中本来就有两项相乘的形式，不好因式分解，因此许多学生会选择将原式展开，展开后得到a4+6a3+13a2+12a+4.要将这个式子进行因式分解，毫无疑问是很困难的.观察此式的结构特征，可以发现式中乘式中的两项都含有a2+3a+1，若将其看作是一个整体，则原式就会变成一个关于a2+3a+1的二次三项式，问题则大大简化.

解 a2+3a+3a2+3a+1+1

=（a2+3a+1）2+2（a2+3a+1）+1

=（a2+3a+1+1）2

=（a2+3a+2）2

=（a+1）2（a+2）2.

评析 对于有括号的多项式，在因式分解时，不要急于展开括号，而是要观察括号内代数式的特征，如果有形式相似的式子，则可以将其看作是一个整体，因式分解的思路就清晰起来.

4 用整体思想求根式的值

例4 已知x=8－43，y=8+43，求xy+yx的值.

分析 此题虽然给出了求解代数式xy+yx所需字母x，y的值，但是直接代入计算较为繁琐.观察所给值的特征，发现其具有对称性，因此可以对xy+yx适当变形，将其转化为x+y，xy的结构形式，即可整体代入求解.

解 因为x=8－43，y=8+43，

所以x+y=16，xy=64－48=16.

则xy+yx=x2+y2xy=（x+y）2－2xyxy=194.

评析 结合所给值的对称性和对所求式的变化，原本复杂的根式运算变为了简单的整式运算.因此，在求解有关根式的问题时，如果题目中显含了对称性，则可以使用基本对称式x+y，xy来处理，求出式子的值并整体代入.

5 用整体思想解答双角平分线问题

例5 平面内∠AOB=60°，OC是平面内的一条射线，∠AOC<∠AOB，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，求∠MON的大小.

①如图1所示，OC在∠AOB内部时.

因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，

所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC

=12∠BOC.

所以∠MON=∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=30°.

②如图2所示，OC在∠AOB外部时.

因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，

所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC.

所以∠MON=∠NOC－∠MOC=12∠BOC－12∠AOC=12∠AOB=30°.

故∠MON=30°.

6 结语

总的来说，整体思想体现了数学的美，有利于培养学生的数学思维、思辨能力和观察能力.在解题时灵活运用整体思想，可以拓宽解题思路，简化解题步骤，在不知不觉中提高学生的数学素养.