相似三角形的应用与综合问题探究

【摘要】相似三角形是初中几何学的重要内容，在实际生活中有着广泛且重要的应用.通过相似三角形的性质，可以计算不可测量的距离或高度，例如，建筑物的高度、塔的高度等.本文对相似三角形的应用与综合问题进行研究，归纳解题方法，并举例进行详细讲解，以期帮助学生对相似三角形的几何知识掌握得更加透彻.

【关键词】相似三角形；初中数学；解题

1 证明比例式或乘积式

证明比例式或乘积式的基本方法是证明四条线段所在的两个三角形相似，若不能直接证明所在的三角形相似，则利用等线段或等比例进行转化.熟练掌握直角三角形中的垂直关系及基本图形中隐含的公共角等知识，正确推理、灵活变形、准确判断是解决这类问题的关键.

例1 在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与点A、B、C重合）.

（1）如图1（a），若EF平行于BC，求证：S△AEFS△ABC=AE·AFAB·AC；

（2）如图1（b），若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

解 （1）因为EF平行于BC，

所以△AEF∽△ABC，

所以AEAB=AFAC，

所以S△AEFS△ABC=AE2AB2=AE·AFAB·AC.

（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立.理由如下：

如图1（c），分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H.

因为FN⊥AB，CH⊥AB，

所以FN平行于CH，

所以△AFN∽△ACH，

所以FNCH=AFAC，

所以S△AEFS△ABC=AE·FNAB·CH=AE·AFAB·AC.

2 利用相似三角形测量物体高度

一些复杂的实际问题常涉及两个图形，并且未知线段过多，此时需要多次运用相似三角形的性质，有时还需要借助方程（组）来求解.

例2 如图2所示，小明和小红站在AD和BC两盏路灯之间，小明站在P处，小红站在Q处，已知小明和小红的身高均为1.8m，两人相距6.5m，灯杆BC高9m，小明在路灯C下的影长为2m，且影子顶部恰好位于路灯D的正下方A点，而小红在路灯D下的影子顶部恰好位于路灯C的正下方B点.

（1）求小红在路灯D下的影长；

（2）求灯杆AD的高.

解 （1）因为EP⊥AB，CB⊥AB，

所以∠EPA=∠CBA=90°.

因为∠EAP=∠CAB，

所以△EAP∽△CAB，

所以EPBC=APAB，即1.89=2AB，

所以AB=10，

所以BQ=10－2－6.5=1.5，

故小红在路灯D下的影长为1.5m.

（2）FQ⊥AB，DA⊥AB，

所以∠FQB=∠DAB=90°.

因为∠FBQ=∠DBA，

所以△BFQ∽△BDA，

所以FQAD=BQAB，即1.8AD=1.510，

所以AD=12，故灯杆AD的高为12m.

3 利用相似三角形测量长度或宽度

测量不能直接到达的两点间的距离，通常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解.

例3 如图3所示，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在同一条直线上且直线PS与河岸垂直，再过点S且与PS垂直的直线上选择适当的点T，使PT与过点Q且垂直于PS的直线（即近岸所在的直线）交于点R.如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ.

解 因为PQ⊥QR，PS⊥ST，

所以∠PQR=∠PST=90°.

又因为∠QPR=∠SPT，

所以△PQR∽△PST，

所以PQPS=QRST.

设PQ=xm，则xx+45=6090，

解得x=90，

所以河的宽度为90m.

4 结语

相似三角形在实际生活中有着广泛的应用，不仅局限于数学领域，还涉及工程、建筑、地理等多个领域，展示了其在现实生活中的重要性和广泛性.比如通过相似三角形的性质，我们可以计算建筑物的距离或高度.在解决与相似三角形相关的综合问题时，通常利用相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等来解决各种问题，比如求边长、角度、面积等.在解题过程中，要进行细致的推导和缜密逻辑分析，确保答案的准确性.同时通过不断练习和掌握解题方法，加强对相似三角形知识的理解，解决各种复杂的几何问题.

参考文献：

[1]谢子婧.相似三角形的几种常见模型分析[J].数理天地（初中版），2024（07）：10-11.

[2]朱长梅.例析相似三角形问题的常见模型及解题思路[J].数理天地（初中版），2024（05）：15-16.

[3]李晨.基于核心素养的初中生解题能力培养研究——以“相似三角形”解题教学为例[J].数学学习与研究，2023（35）：114-116.