初中数学阴影部分面积的求解方法

【摘要】在初中数学中，求解阴影部分面积是一个常见且重要的题型．它不仅考查学生对基本图形的认识和面积公式的掌握，还要求学生具备灵活运用数学知识、转化问题和创新思维的能力．本文通过实例详细探讨几种常见的求解阴影部分面积的方法，包括直接公式法、和差法、割补法，旨在帮助学生掌握解题技巧，提高解题能力．

【关键词】初中数学；阴影面积；解题方法

在初中数学的学习中，图形面积的计算是一个重要的组成部分．而阴影部分面积的求解问题，因其题型多样、解法灵活，常常成为学生学习的难点，掌握有效的求解方法，不仅能够帮助学生提高数学成绩，更能培养学生的空间想象力和逻辑思维能力．

1 直接公式法

对于一些规则的图形，如三角形、矩形、圆形等，其阴影部分面积可以直接利用相应的面积公式进行计算．

例1 如图1，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若AB=10，则阴影部分的面积为（ ）

（A）16π. （B）12π. （C）8π. （D）4π.

解析 如图2，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE、BE.

因为AB是半圆的直径，

所以∠AEB=90°，即∠EAB+∠EBA=90°.

因为EF⊥AB，

所以∠AFE=∠EFB=90°，

所以∠EAB+∠AEF=90°，

所以∠EBA=∠AEF，△EBF∽△AEF.

所以AFEF=EFBF，即EF2=AF·BF.

设AC=x，

因为EF⊥AB，且由作图可知阴影部分是两个半径相等的半圆.

所以四边形DCFE是正方形，

所以CD=DE=EF=CF=AC=x，

所以AF=2x，

所以BF=10－2x，

所以x2=2x10－2x，

所以x1=0（舍去），x2=4，

所以S阴影=2×90×π×42360=8π.

故选（C）．

点评 本题考查了相似三角形和求解扇形的面积相关方面的知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及扇形的面积公式是解题的关键．过点E作EF⊥AB于点F，连接AE、BE，利用相似三角形的性质列方程即可求出AC的值，再利用扇形的面积公式计算即可．

2 和差法

当阴影部分是由几个基本图形的和或差组成时，可以将其面积分别计算，然后相加或相减．

例2 如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．

解析 连接CD，如图4.

因为以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，

所以CD⊥AB.

因为△ACB为等腰直角三角形，

所以CD=AD=BD=12AB．

因为AB=2AC=2·2=2，

所以CD=1.

所以S阴影=S△ABC－S扇形CEF

=12BC·AC－90π×12360

=12×2×2－π4

=1－π4．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，圆的切线的性质定理，扇形、三角形的面积等知识点，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．连接CD，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用S阴影=S△ABC－S扇形CEF即可解答．

3 割补法

将不规则的阴影部分通过割补的方式转化为规则图形，从而便于计算面积．

例3 如图5，在矩形ABCD中，AB=1，以点A为圆心，矩形的长AD为半径画弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为（ ）

（A）1. （B）π－2－12.

（C）22+π4. （D）2－1.

解析 因为四边形ABCD为矩形，

所以∠BAD=∠ABC=90°．

因为AE恰好平分∠BAD，

所以∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°，

所以AB=BE=1，

所以AE=AB2+BE2=2，

所以S扇形AEF=45π·AE2360=14π.

S△ABE=12AB·BE=12，

所以S阴影BEF=S扇形AEF－S△ABE=π4－12.

由题意可知AD=AE=2，

所以S矩形ABCD=AB·AD=2，

S扇形ADE=45π·AE2360=14π，

所以S阴影DCE=S矩形ABCD－S扇形ADE-S△ABE=2－π4－12，

所以S阴影=S阴影BEF+S阴影DCE=2－1．

故选（D）．

点评 本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、扇形的面积计算等知识．利用数形结合的思想是解题关键．

4 结语

综上所述，求解初中数学中阴影部分的面积问题，需要学生熟练掌握基本图形的面积公式，灵活运用各种解题方法，并通过大量的练习提高解题能力．在实际解题过程中，要认真观察图形的特点，分析阴影部分与已知图形之间的关系，选择合适的方法进行求解．同时，要注意计算的准确性，养成良好的解题习惯．相信通过不断地学习和积累，学生在解决这类问题时会更加得心应手，数学思维能力也会得到进一步的提升．

参考文献：

[1]李汉平.美丽的阴影部分图形——探究《圆》中阴影部分面积的求法[J].数学学习与研究，2016（06）：149.

[2]王玮.与圆有关的计算——求阴影部分面积[J].数学学习与研究，2023（04）：125-127.

[3]武云辉.例谈初中数学阴影面积的求法[J].考试周刊，2019（21）：110.