初中数学几何证明思路的多样性探究

【摘要】初中数学几何证明的精髓，在于其思路的多元与深邃，尤以正向、逆向及二者巧妙融合的思维模式为核.面对基础题，正向思维如利剑出鞘，直指问题核心，简洁明了；遭遇复杂难题时，逆向思维则如暗夜明灯，从结论逆向追溯，层层剥茧，往往能开辟解题新径，豁然开朗.更为精妙的是，将正向构建与逆向拆解相结合，既立足已知，又着眼目标，构建桥梁，成为破解几何难题的制胜法宝.此等多样化的解题思路，不仅极大地拓宽了学生的解题视野，更在潜移默化中锤炼了他们的逻辑思维能力与问题解决策略.学生若能深刻领悟并灵活运用这些思维方法，必将在几何证明的征途中如虎添翼，解题效率与准确度将实现质的飞跃，为数学学习之路铺就坚实基石.

【关键词】初中数学；几何证明；解题策略

1 几何定理思路

几何图形的解题思路精髓在于精准运用基本定理，尤其是“两点之间线段最短”及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）等核心性质，精准定位并构建出最值情况下的特定几何形态.这一过程不仅考验着学生对几何定理的深刻理解，更要求他们具备将抽象定理与具体问题相结合的灵活应用能力.通过巧妙运用这些定理，能够高效地解决一系列几何最值难题，精准求得所需的最值结果.

例1 如图1，在直角坐标系中，直线y=34x+3分别与 x 轴、y 轴交于点 A 和 B.现有点 M 在该直线上，其横坐标为 -3.另有点 Q 和 D 在 x 轴上，且 D 在 Q 的右侧，满足 QD=1.求

四边形 MQDB 的周长最小值.

在四边形MQDB中，由于MB与QD为定值，故周长最小即求MQ+BD之和最小.通过构造平行四边形，并利用对称性质，结合“两点之间线段最短”原理，可确定MQ与BD的最小位置.随后，利用勾股定理建立数学表达式进行运算，即可求得MQ+BD的最小值，进而得到四边形MQDB周长的最小值.

解 因为点M在直线AB上，且横坐标为-3，

所以MB= 0+32+3-342=154，

因为MB+QD=154+1=194是定值，

所以问题等价于求MQ+BD的最小值，

过点B作QD的平行线，过点Q作BD的平行线，两点交于点N，作点M关于X轴的对称点M′，连接M′N，如图2.

则M′ N是MQ + BD的最小值，

因为M′－3，－34，N－1，3，

所以NM′=－3+12+－34－32

=174，

所以四边形MQDB周长的最小值为194+174=9.

2 构建函数模型法

构造函数是解决几何最值问题的一种代数化解题思路，其核心在于根据已知条件和几何关系，巧妙地构建相应的函数解析式.这一方法将复杂的几何问题转化为直观的函数求最值问题，使得问题得以简化.在构建函数时，我们常会遇到一次函数、一元二次函数或反比例函数等不同类型的函数，根据具体情况选择合适的函数形式是关键.运用代数运算的解题思路，首先要做的是识别并提取问题中的关键变量和等式关系，随后通过代数变换和推理将这些关系转化为具体的函数表达式.这一过程不仅要求学生具备扎实的代数基础，还需要他们具备将几何直观与代数抽象相结合的能力.

例2 如图3，某房地产公司持有一块特殊形状的“缺角矩形”荒地ABCDE，需在此地上规划建造一座长方形且东西走向的公寓，请问如何

设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1m2）

为求解最大地基面积，首先建立直角坐标系，将“缺角矩形”荒地ABCDE转化为对应的函数图象.根据公寓需东西走向的条件，面积计算需分三种情况讨论.针对每种情况，列出面积与变量间的函数关系式，通过数学方法求解各情况下的最大值.最后，综合比较三种情况的最大值，确定地基的最大面积，并精确到1m2.这一过程融合了坐标变换、函数建模与极值求解，体现了数学在解决实际问题中的应用.

解 分别以线段BC、AE所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，

BC、AE为正方向，长度单位为米，如图4，

可知直线AB的解析式为y=－23x+20.

假设点F分别在EA、AB、BC上运动，

点F为长方形公寓的其中一点，

（1）点F在AB上运动时，

点Fx，20－23x0≤x≤30，

则S=100－x80－20－23x

=－23x2+203x+6000，

=－23xx－52+601623，

当x=5时，y=20－23x503.Smax≈6017m2.

（2）当点F在AE上运动时，点F在点A位置面积有最大值，

Smax=6000m2.

（3）当点F在BC上运动时，点F在点B位置面积有最大值，

Smax=5600m2.

综上，当点F位于（5，503）时，公寓最大面积为6017m2.

3 结语

综上所述，在初中数学几何证明的学习中，探索证明思路的多样性不仅是深化理解的关键，更是培养学生创新思维和问题解决能力的有效途径.通过多角度审视问题，学生不仅能掌握多种证明方法，如直接证明法、反证法、构造法等，还能学会在复杂图形中识别基本图形，灵活运用性质定理.这种多样性的追求，不仅丰富了解题策略，更让学生在不断地尝试与反思中体验数学探索的乐趣与成就感.因此，鼓励学生勇于尝试不同思路，培养其批判性思维和创造力，对于提升初中数学教学质量、促进学生全面发展具有重要意义.

参考文献：

[1]张红琴.“转化思想”在初中几何最值问题中的应用[J].数学之友，2021（04）：90-92.

[2]成政荣.初中几何最值问题解法探究[J].数学教学通讯，2020（11）：42-43.