细心观察发现方程中的小秘密

【摘要】观察是创新的前提，本文结合几则例题，引领学生观察方程中的秘密，以培养学生学习兴趣，培养学生的创新能力.

【关键词】方程；初中数学；解题技巧

数学教育家波利亚说：“观察可能导致发现.”初中阶段学习的过程中，细心观察同一类方程的结构特点与它的解，可以发现它们之间存在着千丝万缕的联系，会有惊人的发现.

1 关于x的方程“ax=b”一定有解吗

任何一个一元一次方程都可以通过等式的性质变形为ax=b（a≠0）的形式，在这里我们限定未知数的系数不为0时，它是一元一次方程，当不限定未知数的系数，关于x的方程“ax=b”一定有解吗？

例1 分别解下面三个方程，根据方程与方程解的情况，试说明关于x的方程ax=b（a，b是常数）解的情况与常数取值的联系.

①2x+1=x+3. ②3x+1=3（x-1）.

③x2－x－13=x+26.

分析 按照解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，分别求出它们的解，然后看当方程处于ax=b的状态时，方程解的数量与a，b的取值的关系.

解 ①2x+1=x+3，2x-x=3-1，x=2，所以方程2x+1=x+3只有一个解.

②3x+1=3（x-1），3x-3x=-3-1，0·x=-4，因为0乘以任何数都是0，不可能等于-4，所以方程没有解，3x+1=3（x-1）没有解.

③x2－x－13=x+26，x2－x3+13=x6+13，=x6，x可以是任何数，所以方程有无数个解.

由此可以发现：关于x的方程ax=b（a、b是常数）的解应分三种情况讨论：一是当a≠0时，方程有唯一解，即x=ba；二是当a=0，b≠0时，方程没有解；三是当a =b =0时，方程有无数多个解.

点评 此题的结论反过来也成立，即当方程ax=b有唯一解时，a≠0；当方程ax=b有无数个解时，a=0，b=0；当方程ax=b无解时，当a=0 ，b≠0.利用这个结论可以求出方程中所含待定系数的值.

2 二元一次方程组的解与系数的关系

二元一次方程组是初中数学的重要方程组，使用代入消元法与加减消元法可以求出任意一次方程组的解，通过解方程组知道，方程组的解由未知数的系数唯一确定，它的解随系数的改变而改变，当方程组的系数呈现规律时，它的解也会呈现规律.

例2 下面有两个集合，一是方程组集合，从左至右分别称为方程组1、方程组2、…、方程组n，另一个是方程解的集合，这两个集合是一一对应关系.方程组集合：x+y=1x－y=1，x+y=1x－2y=4，x+y=1x－3y=9，…，－－－－，方程组解的集合：x=y=，x=2y=－1，x=3y=－2，…，x=y=．解答以下问题：

（1）求第一个方程组的解；

（2）观察前三个方程组与它的解，根据变化规律，试写出方程组n与它的解；

（3）已知方程组x+y=1x－ay=25的解是x=5x=－4，你能求出a的值吗？这个方程组是上述序列的方程组吗？

分析 （1）用加减法解第一个方程组；（2）观察方程组中每个方程中未知数系数变化情况，若变化，与n是什么关系，要观察每个未知数的值与n的关系；（3）将方程组的解代入方程组求出a的值，并与发现的规律相对照.

解 （1）x=1y=0.

（2）通过观察分析，得方程组中第1个方程不变，只是第2个方程中y的系数依次变为-1，-2，-3，…，-n，第2个方程的常数规律是n2．

所以方程组n为x+y=1x－ny=n2.

它们解的规律是x=1，2，3，…，n．

相应的y=0，-1，-2，-（n-1）．

所以方程组n的解是x=nx=－（n－1）.

（3）因为x=5x=－4是方程组x+y=1x－ay=25的解，

所以有5-a×（-4）= 25，

解得a = 5，即原方程组为x+y=1x－5y=25，该方程组符合（2）中的规律．

点评 因为方程组的解由未知数的系数唯一确定，所以主要观察未知数的系数随序数n的变化情况，系数与对应序数n的关系通常表现为：n±a，b n，b n±a，n2或n3等.

3 一元二次方程的解与系数的关系

一元二次方程是初中阶段学习的第二类基本方程，一元二次方程的基本解法有四种，包括两种简单方法，即直接开平方法、因式分解法，万能方法，即公式法，较难的方法，即配方法.韦达定理表达了一元二次方程两根之和、之积与系数a，b，c的相互关系.当某些一元二次方程的系数呈现规律时，它的解也会呈现规律.

例3 （1）如表1，方程1、方程2、方程3，…，是按照一定规律排列的一列方程，将方程的解填在表格中的空格处；

（2）若方程x2-bx=（a-1）x-ab的解是x1=6，x2=10，则a= ；b= ；

（3）直接写出关于x的方程1x2－10x=21x－220的解是 ．

分析 （1）分别利用因式分解的方法解各方程.

（2）利用问题（1）中的各方程的解的特征可得到方程x2-bx=（a-1）x-ab的解是x1=6，x2=10，则它为第4个方程，从而得到a，b的值.

（3）设t=1x，则原方程化为一元二次方程，然后利用解的特征得t的解，从而求得x的值．

解 （1）x2-2x=5x-12的解为x1=3，x2=4；x2-3x=7x-24的解为x1=4，x2=6；

x2-4x=9x-40的解为x1=5，x2=8.

（2）因为方程x2-bx=（a-1）x-ab的解是x1=6，x2=10，所以此方程为第4个方程，即x2-5x=11x-60，所以b=5，a-1=11，a=12.

（3）设t=1x，则原方程化为t2-10t=21t-220，它的解为t1=11，t2=20，

所以x1=111，x2=120.

点评 此题探究了这样一个问题，如果一元二次方程形如x2-ax=（2a+1）x-（a+1）·2a，那么它的解为x1=a+1，x2=2a.为什么这样的一元二次方程都有这样的解呢？原来原方程可化为x2+（-3a-1）x+（a+1）·2a=0，因式分解，得（x-a-1）（x-2a）=0，所以x1=a+1，x2=2a.

4 结语

总之，观察是创新的前提，通过观察到猜想，然后验证，有利于培养学生的学习兴趣，也有利于培养学生的创新能力.