巧求圆中阴影面积

【摘要】求解阴影部分的面积问题，是近几年的一个新的热点.有的题目图形比较规则，可以借助扇形与三角形等基础知识解决.有些题目所求阴影图形不规则，而且设计巧妙，且有较高的综合性，难于直接求解，需要对问题的条件、结论和图形进行变形、转换，巧妙地将所求阴影部分的图形转化为易于求解的规则图形.

【关键词】圆；阴影面积；解题方法

圆是初中数学的重要内容，也是中考必考的热点.翻开各地的中考试题，发现近几年中考数学对圆中阴影部分的面积这一知识点情有独钟.本文对圆中阴影部分面积的求法举例剖析，抛砖引玉.

1 等积转化法

例1 （2024·威海·中考）如图1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交AB于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（ ）

（A）14. （B）13. （C）12. （D）23.

分析 本题考查的是不规则图形的面积，几何概率根据阴影部分面积等于扇形OBE的面积，即可求解．

详解 因为∠AOB=90°，

CE⊥AO，ED⊥OB，

所以四边形OCDE是矩形，

所以S△OCE=S△ODE，

所以S阴影部分=S△ODE+SBDE=S扇形OBE.

因为点C是AO的中点，

所以OC=12OE=DE，

所以sin∠EOD=EDOE=12，

所以∠EOD=30°，

所以S阴影部分=S△ODE+SBDE=S扇形OBE=30π×AO2360=π×AO212，

S扇形AOB=90π×AO2360=π×AO24，

点P落在阴影部分的概率是：

S阴影部分S扇形AOB=π×AO212π×AO24=13，

故选（B）．

2 图形变换法

例2 （2024·资阳·中考）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图2中阴影部分的面积为．

分析 本题考查切线的性质、等边三角形的性质和判定、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．

如图3，设弓形AmF，连接AF，FE，由题意知AE=AF=FE=2，即△AFE为等边三角形，∠FAE=∠FEA=60°，即可得出阴影部分面积为S阴=S半圆－S扇形DFE－S弓形AmF，代入数值即可求出结果．

详解 因为以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，

AB=4，AD=2，

所以AE=AD=BE=2，

所以以AB为直径作半圆时，圆心为点E，

设弓形AmF，连接AF，FE，

即AE=AF=FE=2.

所以△AFE为等边三角形，

所以∠FAE=∠FEA=60°，

故阴影部分面积为：

S阴=S半圆－S扇形DFE－S弓形AmF，

代入数值可得S阴=12×2×2π－60π×22360－60π×22360－34×22=3+23π，

故答案为3+23π．

3 容斥法

例3 （2024·泰安·中考）两个半径相等的半圆按如图4方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）

（A）43π－3. （B）43π.

（C）23π－3. （D）43π－34.

分析 仔细观察发现两个扇形面积的和，比阴影部分的面积多出一个等边三角形的面积．

解 如图5，连接OA，O′A．因为OA=O′A=OO′=2，

所以△OAO′为等边三角形，

所以S△OAO′=34×22=3．

因为S扇形AOO′=S扇形AO′O=60π×23602=2π3，

所以S阴影=S扇形AOO′+S扇形AO′O－S△OAO′=2π3×2－3=43π－3．

故选（A）．

点评 容斥法是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复.当组成整体图形的局部图形面积叠合在一起而比整体图形面积大时，可考虑用容斥法．

4 构造方程组法

例4 如图6，正方形的边长为a，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画圆弧.那么，这四条弧所围成阴影部分的面积是多少？

分析 如图6中含有形状不同的三类图形，分别用x，y，z表示图中曲边形的面积，则由图形的对称性可得方程组.

解 如图6所示.设x，y，z，

则x+4y+4z=a2①，x+3y+2z=π4a2②，x+2y+z=π3－34a2③.

其中①为正方形的面积，②为圆心角为90°的扇形面积，③为边长BC，CE，BE围成的图形的面积，

阴影部分的面积等于两倍的圆心角为60°的扇形面积减去正三角形BCE的面积.

①+③－②×2，

得z=1－34－π6a2，

再将其代入式子①和②中得到关于x，y的二元一次方程组，然后解得x=1－3+π3a2.即为阴影部分的面积.