整体思想在初中数学中的应用技巧

【摘要】本文通过对初中数学中多方面的问题进行分析，以实例的形式阐述整体思想在解题中的重要性和有效性．整体思想作为一种重要的数学思维方法，能够帮助学生简化问题、提高解题效率，培养学生的综合思维能力和创新意识．

【关键词】整体思想；初中数学；解题技巧

数学是一门逻辑性和抽象性很强的学科，在初中数学的学习中，学生常会遇到一些复杂的问题．整体思想作为一种重要的数学思维方法，能够帮助学生从整体的角度分析和解决问题，避免局部思维的局限性．整体思想在初中数学中的应用广泛，涉及代数、几何等多个领域．掌握整体思想的应用技巧，对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义．

1 整体思想的概念及意义

1.1 整体思想的概念

整体思想是指在研究和解决问题时，从整体的角度出发，把问题中的某些部分看作一个整体，通过对整体的分析和处理，达到解决问题的目的．整体思想强调的是对问题的整体把握和综合分析，而不是仅仅关注问题的局部细节．

1.2 整体思想的意义

首先，能使问题简化．整体思想能够将复杂的问题简化为相对简单的问题，减少计算量和降低思维难度．通过把问题中的某些部分看作一个整体，可以避免对问题进行繁琐的局部分析，从而提高解题效率．

其次，能培养学生的综合思维能力．整体思想要求学生从整体的角度去思考问题，综合运用各种数学知识和方法分析和解决问题．这有助于培养学生的综合思维能力和创新意识，提高学生的数学素养．

最后，能提高学生的解题能力．在初中数学中，许多问题都可以通过运用整体思想来解决．掌握整体思想的应用技巧，能够帮助学生拓宽解题思路，提高解题能力，为进一步学习数学打下坚实的基础．

2 整体思想在初中数学中的应用案例

2.1 整体思想之直接求解

例1 现有甲、乙、丙三种商品若干，若购甲种商品4件、乙种商品7件、丙种商品1件共需36元，若购甲种商品5件、乙种商品8件、丙种商品2 件共需45元，则购甲、乙、丙商品各一件，共需多少元？

解析 设购一件甲商品需x元，购一件乙商品需y元，购一件丙商品需z元，根据题意，

得4x+7y+z=365x+8y+2z=45，

得x+y+z=9．

所以，购甲、乙、丙商品各一件，共需9元．

点评 这类问题中，根据题目给出的条件，将式子整体相加或相减，可直接求出结果．

2.2 整体思想之直接代入

例2 已知a+b=7，ab=10，求代数式5ab+4a+7b+3a－4ab的值．

解析 因为5ab+4a+7b+3a－4ab=5ab+4a+7b+3a－4ab=ab+7a+b，

所以，当a+b=7，ab=10时，

原式=10+7×7=59．

点评 这类问题中，通过对比已知条件与所求式子，找到相等的式子，将其直接代入或者转化代入即可求解．

2.3 整体思想之提取系数

例3 已知14x+5－21x2=－2，求式子6x2－4x+5的值．

解析 因为14x+5－21x2=－2，

得14x－21x2=－7，

得3x2－2x=1，

所以6x2－4x+5=23x2－2x+5=7．

点评 这类问题中，通过已知式子进行整体提取系数，找到相等的式子，直接代入或者转化代入即可求解．

2.4 整体思想之知解代解

例4 已知2x－15=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，试求：

（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5；

（2）a0+a2+a4．

解析 （1）令x=1，

得2×1－15=a5×15+a4×14+a3×13+a2×12+a1×1+a0，

所以a0+a1+a2+a3+a4+a5=15=1．①

（2）令x=－1，

得－1×2－15=a5×－15+a4×－14+a3×－13+a2×－12+a1×－1+a0=－243．所以，a0+a2+a4-a5-a3-a1=-243. ②

①+②得：2a0+a2+a4=－243+1=－242，

所以a0+a2+a4=－121．

点评 这类问题中，要先整体观察式子，然后选取不同的特殊值，找到不同的等式，最后对等式整体代入或整体相加减即可求解．

3 整体思想在初中数学中的教学建议

3.1 注重引导学生理解整体思想的概念和意义

在教学中，教师要通过具体的例子，引导学生理解整体思想的概念和意义，让学生认识到整体思想在解决数学问题中的重要性．可以通过对比局部思维和整体思维的解题方法，让学生体会整体思想的优势．

3.2 加强整体思想的训练

在教学中，教师要结合具体的教学内容，加强整体思想的训练．可以通过设计一些具有针对性的练习题，让学生在练习中掌握整体思想的应用技巧．同时，要鼓励学生在解题过程中积极尝试运用整体思想，提高学生的解题能力．

3.3 培养学生的综合思维能力

整体思想的应用需要学生具备综合思维能力，能够将不同的数学知识和方法进行综合运用．在教学中，教师要注重培养学生的综合思维能力，引导学生从多个角度分析问题，寻找解决问题的方法．可以通过开展小组讨论、数学探究等活动，培养学生的合作意识和创新精神．

4 结语

整体思想作为一种重要的数学思维方法，在初中数学中有着广泛的应用．应用整体代入法、整体换元法、整体求值法等技巧，能够帮助学生简化问题、提高解题效率．在教学中，教师要注重引导学生理解整体思想的概念和意义，加强整体思想的训练，培养学生的综合思维能力，提高学生的数学素养和解题能力．

参考文献：

[1]汤永梅.初中数学解题中整体思想的应用策略[J].数理化解题研究，2023（35）：59-61.

[2]钟晓冬.数学思想在初中数学复习备考中的实践与应用[J].新课程导学，2024（13）：32-35.

[3]魏爽.整体思想在初中数学解题中的妙用[J].数理天地（初中版），2022（17）：87-88.

[4]张亚峰.“整体思想”在初中数学解题中的应用[J].名师在线，2018（30）：57-58.

[5]陈娟.数学思想在初中数学解题中的应用[J].广西教育，2021（09）：141-142.