九年级数学“找”轨迹“求”最值问题

【摘要】在九年级数学教学中，利用“找”轨迹“求”最值问题，对于培养学生数形结合能力，提高学生解题技巧，优化课堂结构有一定的意义.本文结合平时的教学经验，总结九年级数学“找”轨迹“求”最值的问题，并提供一些行之有效的解题方法.

【关键词】最值；初中数学；运动轨迹；解题

在九年级数学教学中，“找”轨迹是指在特定条件下，寻求某种变量的运动路线．“求”最值是指某变量在运动过程中何时为最大值，何时为最小值的问题，通常涉及学生观察图形、画辅助线、化动为静、化繁为简及把生活问题转化为实际问题等能力，对提高学生解题技巧有一定的帮助.

例1 定线＋延长线→运动轨迹“想到”将军饮马如图1，AC⊥BC，且AC= BC=4 ，∠BCD=15°，点P在直线CD上运动，求|PA-PB|的最大值.

解析 如图2，作点B关于直线CD的对称点B′，连接B′C，B′B，连接AB′并延长交直线CD于点P，连接BP，

则有CB′=CB=4，∠B′CP=∠BCD=15°．

因为AC⊥BC，

所以∠ACB=90°，

那么∠ACB′=90°-15°×2=60°，

因为B′C=BC，AC=BC，

可得B′C=AC，

所以△ACB′是等边三角形，

则有AB′=AC=B′C=4，

那么当A，B′，P三点共线时|PA-PB|最大，

即|PA-PB|=|PA-PB′|=AB′=4，

所以|PA-PB|最大值是4．

点评 本题主要考查了动点问题中，共顶点两线段差（和），它的本质是“将军饮马”问题的应用，作对称点是解题关键，正确做出辅助线即可解决问题.

例2 一点发三线＋特殊角→运动轨迹“想到”旋转

如图3，AB=2，AC=4，∠BAC可变，以BC为边作等边△BCP，求PA的最大值.

解析 如图4，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′C，

则有△A′BC≌△ABP，

那么A′C=AP，BA=A′B.

因为∠A′BA=60°，

所以△A′BA是等边三角形，

所以A′B=AB=A′A=2．

因为在旋转的过程中始终有A′C≤AA′＋AC，

又因为求AP的最大值实际上就是求A′C的最大值，当A′，A，C三点共线时A′C最大，

即AP=A′C≤AB＋AC≤2＋4≤6，

所以AP的最大值为6．

点评 本题主要考查了动点问题中若遇到等边三角形，本质是“一点发三线”的应用，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC是解题的关键，在作图的过程中利用三角形全等和三角形三边关系轻松解题.

例3 一线三垂直＋直线→运动轨迹“想到”“点动成线”如图5，已知△ABC是等腰Rt△，且点A（2，0），点B在y轴上，连接OC，求OC的最小值.

解析 如图6，过点C作CE⊥y轴于点E．

因为△ABC是等腰Rt△，

所以BC=BA，∠ABC=90°，

∠EBC＋∠ABO=90°．

而∠ABO＋∠OAB=90°，

所以∠EBC=∠OAB，

易证Rt△AOB≌Rt△BEC，

则有OB=CE．

设OB=CE=m，而OA=BE=2，

所以C（m，m+2）可知点C在直线y=x＋2上运动，

设直线y=x＋2与y轴交于点Q，与x轴交于点P，

则Q（0，2），P（-2，0），

那么△POQ是直角边长为2的等腰Rt△，

易求斜边PQ=22．

过点O作直线y=x＋2的垂线，垂足为点C′，

则OC′=12PQ=2，

故OC的最小值为2．

例4 定点＋定长→运动轨迹“想到”圆

如图7，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，D为AC中点，E在AB边上，BG⊥CE，P在AB边上运动，求PD+PG的最小值.

解析 如图8，以BC的中点O为圆心，以BC为直径作圆O，作点D关于直线AB的对称点D′，连接OD′交圆O于点G，交AB于点P，连接DO，DD′当D′，G，O三点共线时PD+PG的值最小.

在Rt△ABC，∠A=30°，BC=4，

所以AC=2BC=8，由勾股定理可求AB=AC2－BC2=82－42=43．

又因为D，O分别是AC，BC的中点，

所以OD=12AB=23，DD′=4，在Rt△D′DO中由勾股定理可求D′O= OD2+D′D2=27，

即PD+PG=PG＋PD′=D′O-OG=27-2，

故PD+PG的最小值为27-2.

点评 本题是动点问题中“定点＋定长”类型，它的本质就是根据两条动线段求最值.方法是：先明确点G运动的轨迹是以BC的中点O为圆心，以BC为直径的圆，且作出这个辅助圆，再作点D关于直线AB的对称点D′，连接OD′确定出PD+PG的最小值时点G的位置，通过作图问题就迎刃而解了.

结语

“找”轨迹“求”最值是近几年中考热点问题.在九年级数学教学中应用很多，远远不止以上几例，在解决相关问题时若能很好地引导学生审题，从题中找出已知条件和所求问题，从运动轨迹入手，搞清楚运动轨迹是圆弧还是线段，找到运动过程中的“特殊时刻”作为解决问题的突破口，这样解题就可以达到事半功倍的效果.在此过程中当然要注意：不能生搬硬套，要举一反三，教师要根据学生的实际情况，选择合适的方法，培养学生发散思维，提高学生解题能力，使学生做一道题会一类题.

参考文献：

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[3]殷成叶.最值问题教学“三步走”：建模、运用与变式——以中考几何最值微专题教学为例[J].数学教学通讯，2023（35）：25-26.