“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用

【摘要】构造辅助线是初中数学解题中解决复杂几何问题的常用策略之一，“构造辅助圆”则是构造辅助线的高级形式．通过“辅助圆”的构造不仅能够使问题变得更加简单，还能让学生更好地掌握圆的相关性质以及圆与其他几何图形之间的关系，提升学生的几何问题求解能力．本文通过相关例题对“构造辅助圆”在初中数学解题中的应用进行说明，充分利用典型例题让学生准确掌握“构造辅助圆”的应用方法，提升学生的解题能力和思维能力．

【关键词】构造辅助圆；初中数学；解题教学

初中数学几何类试题涉及圆、三角形以及直线相关的问题，需要学生具有较强的空间想象能力与逻辑推理能力才能准确地进行相关问题的求解．“构造辅助圆”是一种较为巧妙的解题思路，充分利用圆的相关性质将试题中的已知条件与求解目标进行有效联系，使较为复杂的问题变得简单化，让学生能够更加快速准确地进行相关问题的求解．掌握“构造辅助圆”的应用方法能够让学生更加灵活地求解几何问题，全面提升学生的创新思维能力和解决问题的能力，提升学生的解题能力．

1 “构造辅助圆”在求线段长度中的应用

在解决求几何线段长度的问题中，可以充分利用试题中给出的已知条件并结合圆的相关性质进行辅助圆的构造，再充分利用圆的其他性质就能够更加快速地进行问题的求解．

例1 如图1所示，四边形ABCD中，已知点E为AB的中点，且EA=EB=EC=ED=5cm，同时AE∥CD，线段CB的长度为19cm，线段BD的长度是 ．

解析 传统的解题过程中，根据试题中的已知关系可以得到△ADE≌△BCE，得到BC=AD=19cm，然后利用勾股定理，过点D作AB的垂线交于点F，这样就可以构建Rt△AFD和Rt△EFD．设DF的长度为y，EF的长度为x，就可以得到y2=25－x2和y2=19－（5－x）2这两个式子，求得x的值为3110．然后在Rt△DFB中有BD2=y2+（5+x）2，将相关计算代入就可以得到BD的长度为9cm．这种解题方式计算量较大，dFuKFbU1/yxZEOgF52Hk/NEO3QtX0OWnbgBFyz5evOk=导致学生在计算过程中很容易出现错误，并且会花费较多的时间，严重影响学生的解题效率和解题的准确性．

采用构造辅助圆解题过程中，充分分析试题中的已知条件，根据EA=EB=EC=ED=5cm，可以知道四边形ABCD的4个点到点E的长度相等，说明这4个点在以E为圆心，AE为半径的圆上，构建辅助圆如图2所示．根据圆的性质可以知道∠ADB=90°，所以△ADB为直角三角形，根据AE∥CD能够得到AD=BC=19cm，然后利用勾股定理就可以计算出BD的长度为9cm．

反思 本题充分利用点E到点A，B，C，D的距离相等关系来进行辅助圆的构造，然后利用AB为圆E的直径关系得到∠ADB=90°，再根据勾股定理计算出BD的长度．该解题方式有效地简化了试题的计算量，能够有效提升学生的解题速度与解题准确性．

2 “构造辅助圆”在求角的度数中的应用

在求角的度数或者证明两个角相等的几何问题中，可以充分利用圆的定义中关于角的相关定义快速进行问题的求解．

例2 如图3所示，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，直线AP在△ABC的外侧，点D与点B关于直线AP对称，连接CD交AP于点E，连接BE，求证∠BAC=∠BEC．

解析 传统解题过程中，要证明两个角相等，主要通过三角形相似或者角的度数进行求证，本题没有告诉三角形中相关角的度数，所以需要通过三角形相似进行证明．设AB与CD的交点为F，可以知道∠BEF=∠CFA，同时根据点D和点B关于直线AP对称，可以知道AD=AB，DE=BE，从而得到∠EBA=∠ADC．因为AB=AC，所以AD=AC，所以△ADC为等腰三角形，所以∠ADC=∠ACD，所以∠EBA=∠ECA．根据两个三角形对应的两个角相等得到△FEB∽△FAC，所以∠BEC=∠BAC．

采用构造辅助圆解题，根据点B与点D关于直线AP对称，可以得到AD=AB，DE=BE，结合已知条件AB=AC，可以知道AB=AC=AD，所以点B，C，D均在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图4所示．根据圆的定义可以知道∠BAC=2∠BDC，因为DE=BE，所以△BDE为等腰三角形，所以∠EDC=∠EBD.根据三角形的相关定义可以知道∠BEC=∠EDB+∠EBD=2∠EDB，所以∠BEC=∠BAC．

反思 对比构造辅助圆的证明方式与传统的证明方式，可以发现，构造辅助圆的证明方式充分利用圆的相关定义来将∠BDC和∠BAC进行有效联系，然后利用等腰三角形关系得到∠BEC与∠BDC之间的关系，实现问题的求证，相较于传统证明方式中证明三角形相似来判断角相等的方法更加简单．

3 结语

综上所述，构造辅助圆是解决几何问题的重要策略之一，能够帮助学生快速解决一些特定类型的数学问题，提升学生的解题能力．在教学过程中，教师需要指导学生了解等角、直角、长度相等等构造辅助圆的相关条件，掌握圆的相关性质和定义，将构造辅助圆应用到几何解题中，培养学生的创新思维能力，提升学生的解题效率和准确率．

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