巧用二次函数求解两类实际问题

【摘要】 二次函数是初中数学的重要内容之一，在实际问题中有着广泛的应用．本文通过对初中数学中常见的两类实际问题进行分析，阐述如何巧用二次函数求解这些问题，旨在帮助学生更好地理解和掌握二次函数的应用，提高解决实际问题的能力．

【关键词】初中数学；二次函数；解题方法

在初中数学的学习中，二次函数是一个关键的知识点，且在实际生活中有着广泛的应用．通过巧用二次函数，可以有效地解决许多实际问题，培养学生的数学思维和应用能力．因此，深入研究运用二次函数求解实际问题具有重要的意义．

1 用二次函数求解体育运动问题

例1 如图1，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区AB的台端A点出发，在助滑道AB上获得高速度，至跳台区BC依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡CD上，并在终点区DE上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分．已知着陆区斜坡CD的坡度均匀，CD的垂直高度CF为60m，水平距离DF为80m．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端C点后水平前进了20m时，高度恰好升高了20m达到抛物线的最高点P．

（1）请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式；

（2）运动员在着陆区斜坡CD上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区DE上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由．

解析 （1）以点F为原点，地平线DG为x轴，竖直CF为y轴建立平面直角坐标系，则P20，80．

设抛物线y=ax－202+80，

将点C0，60代入函数表达式，

得60=a0－202+80，

解得a=－120．

所以，抛物线的表达式为y=－120x－202+80．

（2）在（1）的基础上，由题意，得D0，80．

因运动员落地即为y=0，

即0=120x－202+80，

解得x1=－20（舍去），x2=60．

由60<80，可判断这位运动员此次动作会在着陆区斜坡CD上着陆．

评析 本题考查了二次函数在体育运动问题中的应用．第（1）问中，利用待定系数法进行解答即可；第（2）问中，由题意，得D0，80，运动员落地即为y=0，解出x的值即可进行判断．

2 用二次函数解决抛体运动问题

例2 如图3所示，某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点30m时达到最大高度40m．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为50m，与地面的竖直距离为10m，AB是高度为9m的防御墙．若以点O为原点，建立如图4所示的平面直角坐标系．

（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；

（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；

（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．

解析 （1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y=ax－302+40a≠0，

把0，0代入，

得900a+40=0，

解得a=－245，

所以y=－245（x－30）2+40，

即y=－245x2+83x．

（2）把x=50代入y=－245x2+83x，

得y=2009=2229，

2229>10+9，

所以石块能飞越防御墙AB．

（3）设直线OA的解析式为y=kxk≠0，

把50，10代入，得10=50k，

得k=15，

故直线OA的解析式为y=15x，如图5．

设直线OA上方的抛物线上的一点M的坐标为t，－245t2+83t，

过点M作MN⊥x轴，交OA于点N，交x轴于点D，则Nt，15t，

MN=－245t2+83t－15t

=－245t2+3715t

=－245t－11142+136940，

因为－245<0，

所以，该函数图象开口向下，MN有最大值，

当t=1114时，MN取最大值，最大值为136940．

所以，在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是136940米．

评析 本题主要考查了二次函数在解决抛体运动中的巧妙应用．正确确定石块运动轨迹所在抛物线的解析式是解题关键．确定抛物线方程后，可运用二次函数的图象和性质，并结合实际问题的要求进行解题．

3 结语

二次函数在初中数学中具有重要的地位，巧用二次函数可以有效地解决体育运动、抛体运动等实际问题．在教学过程中，教师要注重基础知识的教学，引导学生分析问题，加强练习与巩固，结合实际生活帮助学生更好地理解和掌握二次函数的应用，提高学生解决实际问题的能力．相信通过不断的学习和实践，学生能够更加熟练地运用二次函数来解决各种实际问题，为今后的学习和生活打下坚实的基础．

参考文献：

[1]吕强.用二次函数解决实际问题两例[J].中学生数学，2022（24）：11-13.

[2]周康宝.巧用二次函数 妙解实际问题[J].中学数学，2024（14）：81-82.

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