初中数学解题技巧探微

【摘要】圆相关问题在初中数学解题教学中占据举足轻重的地位，涉及几何、代数、数形结合等方面的知识．因此，基于圆相关问题进一步展开初中数学解题技巧的探究极有必要．

【关键词】初中数学；圆；解题技巧

1 引言

初中数学，题型多样且富有挑战性．掌握有效的解题技巧，不仅能帮助学生更好地理解数学知识，还能提高学生解题的准确性和速度．本文将以典型的圆相关问题为例，探讨如何运用解题技巧攻克这些问题．

2 垂径定理问题

垂径定理是圆几何中常见的定理之一，即圆的直径垂直于弦，则该直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．这一性质在初中数学解题中具有重要应用．而关于此类问题的解题，多需要学生借助辅助线充分揭示其中的隐含关系.这种方法能够简化学生的解题思路，增强学生的数形结合能力，提升学生的逻辑推理能力，并培养学生的创新思维．

例1 如图1，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）求证：E是OB的中点；

（2）若AB=16，求CD的长．

解析 本题考查垂径定理、勾股定理等知识，属于中考常考题型，解题的关键是灵活运用所学知识，借助辅助线解决问题．

（1）证明 如图2，连接AC．

因为直径AB垂直于弦CD于点E，AC=AD，

所以AC=AD．

因为过圆心O的线CF⊥AD，

所以AF=DF，即CF是AD的中垂线，

AC=CD，AC=AD=CD，

即△ACD是等边三角形，所以∠FCD=30°，

在Rt△COE中，OE=12OC，

所以OE=12OB，点E为OB的中点．

（2）解 在Rt△COE中，AB=16，

所以OC=12AB=8，

又因为BE=OE，

所以OE=4，

CE=OC2－OE2=82－42=43，

CD=2CE=83．

3 边心距问题

在初中数学几何中，边心距是指多边形的边与其外接圆的圆心之间的最短距离．在圆相关的计算问题中，边心距常用于三角形、正方形等多边形外接圆的性质探讨．理解和掌握边心距问题的解题技巧，有助于学生更好地掌握几何图形之间的关系，提高解题能力．

例2 如图3，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．

（1）求证：OF=EC；

（2）若∠A=30°，BD=2，求AD的长．

（1）证明 如图4，连接OE，

因为AC是⊙O的切线，

所以OE⊥AC，∠OEC=90°，

因为OF⊥BC，

所以∠OFC=90°，

∠OFC=∠C=∠OEC=90°，

四边形OECF是矩形，OF=EC．

（2）因为BD=2，

所以OE=1，

因为∠A=30°，OE⊥AC，

所以AO=2OE=2，

AD=AO－OD=2－1=1．

4 最短路线问题

圆的最短路线问题是初中数学中一个经典且具有挑战性的题目类型，涉及几何学中的基本概念与方法．这类问题在数学竞赛、日常教学中经常出现，是学生深刻理解几何性质和培养逻辑推理能力的良好素材，求解这类问题常用的方法有直接法、切线法、数学建模法、构造法等．

例3 如图5，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，P是直径MN上的一个动点，试计算PA+PB的最小值．

解析 本题结合图形的性质，考查轴对称——最短路线问题，其中求出∠BOA′的度数是解题的关键．

解 如图6，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′，

因为点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

所以∠A′ON=∠AON=60°，

PA=PA′．

因为点B是弧AN的中点，

所以∠BON=30°，

∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，

又因为OB=OA′=1，

所以A′B=2，

PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

5 结语

总之，对于学生而言初中数学圆相关问题，解决起来极具挑战性，然而通过掌握相应的解题技巧，学生可以在应对这些问题时更加从容.这不仅能够能提高学生的解题速度，还能帮助学生深入理解几何问题的本质，从而在考试中取得更优异的成绩．

参考文献：

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[2]杜兴兴．辅助圆模型在初中数学解题中的应用探究[J]．数理天地（初中版），2024（14）：31-32．

[3]欧露．初中数学解题中辅助圆的应用分析[J]．数理天地（初中版），2024（09）：12-13．

[4]孙娇．初中数学解题技巧探微——以圆相关问题为例[J]．数理天地（初中版），2023（01）：16-17．