初中数学有关圆的解题教学实践

【摘要】圆属于初中数学课程中的一项重要内容，虽然学生在小学时期就有接触，但初中阶段圆的相关知识难度与深度均有提升，对他们的学习能力有着更高要求．再加上圆不仅特殊，相关题型同样特殊，还会涉及其他几何图形与元素，解题难度增大，对其的观察能力、思维水平和运算能力均有着较高要求．基于此，本文主要对初中数学有关圆的解题教学进行深入分析和研究，同时分享一些解题实例以供参考．

【关键词】初中数学；圆；解题技巧

在初中数学解题训练中，教师需高度重视有关圆的题目，虽然题型变化多样，但是“万变不离其宗”，终归考查的是圆的相关知识，教师可开展专题训练，组织学生共同总结圆的解题技巧，使其掌握更多解题窍门，为中考做准备．

1 运用圆的基础知识，解答定值试题

圆作为一种比较常见的几何图形，是平面几何中基本图形之一，具有多个独特的性质与规律．如圆是定点距离等于定长的点的集合；圆的内部可以看作是圆心距离小于半径的点的集合；圆的外部能够看作是圆心距离大于半径的点的集合；同圆或等圆的半径相等．在初中数学有关圆的解题教学中，教师在平时教学中帮助学生理解与掌握圆的性质与规律，带领他们求解有关定值的问题，使其通过逐步推导论证的方式解题，无需过多运算[1]．

例1 已知有一个⊙O，CD是⊙O的一条弦，AB是该圆的一条直径，其中AB与CD是垂直关系，垂足为E点，如果AB=10，CD=8，那么AE的值是什么？

解 根据题意画出图1，连接OC，

因为⊙O的直径AB=10，

所以OA=OB=OC=5，

又因为AB⊥CD，

所以E点是弦CD的中点，

由于CD=8，

则CE=DE=4，

在直角三角形OCE中，结合勾股定理可得OC2=CE2+OE2

代入相关数值后求得OE=3，

这时AE=OA－OE=5－3=2，

另外一种情况如图2所示，

AE=OA+OE=5+3=8，

所以AE的值是2或者8．

2 根据实际解题需求，添加辅助线解题

纵观当前初中数学几何题目，不少都与圆有所关联，从基础型到综合型均有所涉及．对于基础型题目，大多学生都能够轻松处理，不过面对综合型题目时，他们往往不知所措，无法快速找准解题的突破口，不仅计算过程繁琐，还容易出现错误．而且圆的题目通常会同其他平面几何图形或直线、函数等知识组合成比较复杂的试题，这时教师可提示学生根据实际需要添加一些辅助线，辅助他们顺利求得结果，使其解题自信得以强化[2]．

例2 如图3所示，两个以O为圆心的同心圆半径分别是a和b，且a<b，AC为小圆的直径，点B位于小圆之上，直线BC同大圆相交于P，Q两点，将线段AP，AQ分别连接起来，请证明：

（1）PB·BQ的值是一个定值；

（2）△APQ各边的平方和是一个定值．

解 （1）过点B作大圆的直径MN，与大圆分别相交于M，N两点，

由此能够得到PB·BQ=MB·BN，

根据题意可知MB=b－a，

BN=b+a，

则PB·BQ=MB·BN=（b－a）·（b+a）=b2－a2，

所以PB·BQ的值是一个定值．

（2）连接AB，

因为AC是小圆的直径，

所以AB⊥BC，

在Rt△ABP中，根据勾股定律可得

AP2=PB2+AB2，

在Rt△ABQ中，AQ2=BQ2+AB2，

所以在△APQ中，

AP2+AQ2+PQ2

=PB2+AB2+BQ2+AB2+（BQ+PB）2

=2（PB2+AB2+BQ2）+2BQ·PB

=2［AB2+（BQ-PB）2］+2BQ·PB

=2（AB2+BC2）+6BQ·PB

=2AC2+6BQ·PB

=2（2a）2+6（b2-a2）

=2a2+6b2，

所以△APQ各边的平方和是一个定值．

3 归纳圆的相关知识，灵活解题

针对初中数学中圆的解题教学，为帮助学生更好地解题，教师需引领他们认真归纳与圆有关的知识内容，系统化地研究圆，包括圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角，点与圆、直线与圆的位置关系，正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与扇形面积等．在解题训练中，教师应当引领学生根据题目，灵活、恰当地选择和使用圆的相关知识，使其确定最佳解题方案，形成简洁、清晰的解题流程，促进他们快速突破解题障碍[3]．

例3 如图4所示，AB是半圆O的直径，线段AP是经过点A的半圆切线，在弧AB上面任意选择一个不与A，B两点重合的C点，过C点画半圆的切线CD，与线段AP相交于D点，再过点C画线段CE和直径AB垂直，垂足为点E，把BD连接起来，同线段CE相交于F点，假如点C不是弧AB的中点，请证明CF=FE始终成立．

解 把BC连接起来，且加以延长，同AP相交于G点，连接AC，

因为AD和CD都是半圆O的切线，

所以AD=CD，∠DAC=∠DCA，

又因为AB是半圆O的直径，

所以∠ACB=∠GCA=90°，

所以∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°，

所以∠DGC=∠DCG，

所以在△GDC中，GD=DC，

因为AD=CD，

所以AD=GD，

因为AP是半圆O的切线，AB是半圆O的直径，

所以AB⊥AP，

因为AB⊥CE，

所以AP∥CE，

所以CFGD=BEAB=EFAD，

又因为AD=GD，

所以CF=FE．

4 结语

总而言之，在初中数学解题训练活动中，教师应格外关注有关圆的试题，围绕圆设计专题练习，组织学生认真观察、分析、研究和归纳圆的有关题目，深度挖掘题干和图象中的有用信息及条件，以掌握牢固的圆的规律、定理和性质等，寻找解题的切入点，根据实际情况巧妙添加辅助线，使其找到更加简洁与方便的解题思路，以此不断提升他们的数学解题水平．

参考文献：

[1]左朋法.初中数学解题教学中“圆”的解题解析[J].数理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[2]陆燕.对初中数学解题教学的思考与优化[J].中学数学，2023（20）：79-80.

[3]陈莉.新课标背景下初中数学解题教学策略[J].亚太教育，2023（17）：118-120.