反比例函数综合问题的解题策略

【摘要】本文通过对反比例函数与一次函数交点问题、图象面积问题以及与几何图形的综合应用进行分析，总结出有效的解题方法，以帮助学生更好地掌握反比例函数综合问题的求解．

【关键词】初中数学；反比例函数；解题策略

反比例函数的综合问题通常涉及多个知识点的融合，具有一定的难度和挑战性．因此，掌握反比例函数综合问题的解题策略对于提高学生的数学思维能力和解题能力具有重要意义．

1 反比例函数与一次函数的交点问题

例1 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx（x>0）的图象分别与AB，BC交于点D和点E32，4，且点E为BC的中点．

（1）求反比例函数的表达式和点D的坐标；

（2）若一次函数y=2x+m与反比例函数y=kx（x>0）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．

解析 （1）因反比例函数y=kx（x>0）的图象分别与AB，BC交于点D和点E32，4，

所以k=32×4=6，

所以反比例函数的表达式为y=6x（x>0）

因为四边形OABC是矩形，

所以BC∥AO，BA⊥OA.

因为点E32，4，且点E为BC的中点，

所以B（3，4），所以点D的横坐标为3，

代入y=6x得，y=63=2，

所以D3，2.

（2）当直线y=2x+m经过点E32，4时，

则4=2×32+m，解得m=1；

当直线y=2x+m经过点D3，2时，

则2=2×3+m，解得m=－4.

因一次函数y=2x+m与反比例函数y=kx（x>0）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），得-4≤m≤1．

评析 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点的综合问题，需要学生灵活运用所学知识解题．第（1）问中，利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到BC∥AO，BA⊥OA，再由E为BC的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；第（2）问中，求出直线y=2x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．

2 反比例函数与一次函数图象面积的问题

例2 如图2，点A在反比例函数y1=12x（x>0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=4x（x>0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为 ．

解析 连接AO，OC，如图3，可知点A在反比例函数y1=12x（x>0）的图象上，点C在反比例函数y2=4x（x>0）的图象上，AB⊥x轴，

得S△OAB=12×12=6，

S△OBC=12×4=2，

S△AOC=S△OAB－S△OBC=6－4=2，

因为AB⊥x轴，可知AB∥y轴，

所以S△APC=S△AOC=4．

评析 本题考查反比例函数图象与一次函数图象的面积问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．本题中，连接AO，OC，利用S△AOC=S△OAB－S△OBC，结合三角形面积公式解题．

3 反比例函数与几何图形的综合

例3 如图4，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn－1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y=4xx>0的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x轴上，则点A2018的坐标为 ．

解析 可设点P1x，y，过P1作P1H⊥x轴于H，△P1OA1为等腰直角三角形，

可知x=y，

而y=4x，则x2=4，

得x=2（负值已舍去），

根据等腰三角形的三线合一，得A14，0，

设点P2的坐标是4+m，m，

又y=4x，则mm+4=4，

即m2+4m－4=0，

解得m1=－2+22，

m2=－2－22，

因为m>0，所以m=－2+22，

再根据等腰三角形的三线合一，得A2（42，0）；

同理得点A3的坐标是43，0，以此类推，则An点的坐标是4n，0．

故点A2018的坐标为42018，0．

评析 本题考查了反比例函数与几何图形的综合问题，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．首先根据等腰直角三角形的性质，知点P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P1的坐标是（2，2），则根据三线合一求得点A1的坐标；同样求得A2点的坐标；根据A1、A2点的坐标特征即可类推．

4 结语

反比例函数综合问题是初中数学中的难点之一，但通过对反比例函数的性质、图象以及与其他函数、几何图形的综合应用进行深入分析，掌握有效的解题策略和方法，就能够顺利地解决这些问题．在解题过程中，要认真审题，分析图形，选择合适的解题方法，注意计算的准确性，同时要善于总结归纳，举一反三，不断提高自己的数学思维能力和解题能力．

参考文献：

[1]吴凤燕.反比例函数与一次函数综合问题的解题策略探讨[J].数理天地（初中版），2024（16）：29-30.