例谈运用二次函数解决生活中的常见问题

【摘要】二次函数作为数学中的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用．本文首先阐述二次函数的重要性及其应用策略，然后通过具体实例分析二次函数在解决利润最大化和运动轨迹等生活常见问题中的应用，进一步展示二次函数的实用性和重要性．

【关键词】二次函数；初中数学；解题技巧

数学源于生活，又服务于生活．二次函数作为中学数学的重要内容之一，其在实际生活中的应用非常广泛．通过建立二次函数模型，可以解决许多生活中的实际问题，如利润最大化、运动轨迹等．本文将通过具体实例，探讨二次函数在生活中的常见应用．

1 二次函数的重要性及应用策略

二次函数的重要性不言而喻．首先，从知识结构的角度来看，二次函数是对一次函数、反比例函数等知识的深化和拓展．它将代数与几何紧密结合，通过抛物线的形式展现了函数的变化规律．学生在学习二次函数的过程中，需要综合运用代数运算、方程求解、图形分析等多种数学方法，从而提升了逻辑思维能力和综合解题能力．其次，二次函数在中考中占有较大的比重．无论是选择题、填空题还是解答题，都经常涉及二次函数的相关内容．掌握好二次函数，对于学生在中考中取得优异成绩至关重要．

二次函数在实际生活中的应用也十分广泛．例如，在商业领域中，企业可以利用二次函数来确定最优的销售价格，以实现利润最大化．通过建立利润与销售价格之间的二次函数关系，求出函数的最大值点，从而确定最佳售价．在工程设计中，二次函数可以用来计算抛物线形状的桥梁、拱门等建筑物的参数．此外，二次函数还可以应用于物理5nA+MzWffWEMQkq4qCN8EA==学中，如描述物体的抛体运动轨迹等．

为了更好地掌握二次函数，可以采取以下应用策略．首先，要扎实掌握二次函数的基本概念和性质．理解二次函数的一般式、顶点式、交点式等不同形式，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征．通过大量的练习，熟悉二次函数的图像变换规律，如平移、对称、缩放等．其次，要注重与实际问题相结合．在学习二次函数的过程中，多关注生活中的实际问题，尝试将其转化为二次函数模型进行求解．这样不仅可以加深对二次函数的理解，还能提高应用数学知识解决实际问题的能力．最后，要善于总结归纳．在解题过程中，要总结不同类型问题的解题方法和技巧，形成自己的解题思路．同时，要将二次函数与其他数学知识进行有机结合，构建完整的数学知识体系．

2 二次函数解决生活中常见问题的案例分析

2.1 利润最大化问题

例1 天猫“天天特价”网店销售某款打底裙，每件售价60元，每星期可卖300件，为促销，该店决定降价销售.市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件，已知该款打底裙每件成本40元，天猫规定售价不得低于成本价，设该款打底裙每件售价x元，每星期的销量为y件，每星期的销售利润为w元．

（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

（2）求w与x之间的函数解析式，并求当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，请直接写出每件售价x的取值范围．

解析 （1）y=300+3060-x=-30x+210040≤x≤60．

（2）W=x－40－30x+2100=－30x－552+6750，

因为－30<0，开口向下，40≤x≤60，

所以，当x=55时，w有最大值，Wmax=6750元，

即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，且最大利润为6750元．

（3）根据题意知，－30x－552+6750≥6480，

解得52≤x≤58．

点评 在商业活动中，经常需要考虑如何实现利润最大化．本题解题的关键是理解题意，找到题目中的相等关系，并据此列出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．根据“实际销售量=原销售量+30×下降的价格”可得函数解析式；根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可；根据题意列出不等式－30x－552+6750≥6480，利用二次函数的性质求解可得出x的范围．

2.2 运动轨迹问题

例2 在某次测试中小周投掷出的实心球所经过的路线是如图1所示的抛物线，已知实心球出手时离地面1.6m，当实心球行进的水平距离为3m时实心球达到最大高度2.5m．

（1）求实心球行进的高度ym与行进的水平距离xm之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（2）如果实心球测试的优秀成绩至少是8.2m，那么小周在这次测试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．

解析 （1）由题意知，该抛物线经过点0，1.6，顶点坐标为3，2.5，

设该抛物线的解析式为y=ax－32+2.5，

将0，1.6代入解析式，得1.6=a0－32+2.5，

解得a=－0.1，

所以，实心球进行的高度ym与行进的水平距离xm的函数解析式为y=－0.1x－32+2.5；

（2）不能达到优秀，理由如下：

当y=0时，－0.1x－32+2.5=0，

解得x1=8，x2=－2（舍去），

所以小周在这次测试中成绩为8m，

因为8<8.2，

所以，小周在这次测试中成绩不能达到优秀．

点评 本题从生活实际问题出发，考查了二次函数的实际应用．第（1）问中，根据抛物线顶点坐标设出顶点式，再将抛物线与y轴交点坐标代入求解即可；第（2）问中，求出抛物线与x轴的交点坐标，再与优秀成绩标准进行比较即可．

3 结语

通过以上实例可以看出，二次函数在生活中有着广泛的应用．在解决实际问题时，可以通过建立二次函数模型，利用二次函数的性质来求解问题的最优解．在建立二次函数模型的过程中，需要根据实际问题的特点，合理设未知数，确定函数关系式，并结合二次函数的图象和性质进行分析求解．同时，也应该认识到，数学知识与实际生活是紧密联系的，只有将数学知识灵活运用到实际生活中，才能更好地发挥数学的作用．总之，初中二次函数在数学学习和实际生活中都具有重要的地位．通过掌握二次函数的基本概念和性质，采取有效的应用策略，可以更好地理解和应用二次函数，为今后的学习和生活打下坚实的基础．

参考文献：

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