重视创新思维，提升数学学科素养

【摘要】时代在进步，社会在发展，学生在变化，教学与考试也不能故步自封，教学改革一直在进行，比如考试试题的创新.“新材料、新情境、新问题”是近年中考命题坚持的理念，所以试卷中出现了大量立意新颖别致的创新试题，此类试题以创建的新情境为背景，在考查数学知识的同时，注重对学生解题能力的考查，旨在提升学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.

【关键词】创新试题；中考；学科素养

近几年，数学中考出现了大量的创新型试题，这些创新题不仅测试学生对基础知识的掌握情况，还着重考查学生的创新思维、解决问题的能力以及数学思想方法的运用.这类题目内容新颖，常伴有“定义”“规定”等字眼，使用抽象的语言给出新的定义、运算或符号.考生需要仔细揣摩和理解新定义的含义，并运用新定义解决相关问题.这类题目考查考生的理解与运算、信息迁移的能力，鼓励学生从不同角度思考问题，从而培养学生的数学素养和解决问题的能力.

1 定义新运算

例1 （2024·四川眉山·中考）定义运算：ab=a+2ba－b，例如43=（4+2×3）（4－3），则函数y=（x+1）2的最小值为（ ）

（A）－21. （B）－9. （C）－7. （D）－5.

分析 本题考查求二次函数的最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的对称轴和顶点坐标等性质求最值即可．

详解 由题意得，y=x+12=（x+1+2×2）（x+1－2）=（x+5）（x－1），

即y=x2+4x－5=x+22－9，

所以当x=－2时，函数y=x+12的最小值为－9．

故选：（B）．

点评 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．创新型试题能够考查更高层次的思维能力.传统试题多注重知识的记忆，创新试题则侧重于知识的运用、分析、综合和评价，比如让学生设计一个实验方案来验证物理定律，或者对社会热点问题提出创新解决方案，这可以提升学生的创新思维和批判性思维能力.

2 定义新概念

例2 （2024·四川广元·中考）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα=74，β=30°，求该介质的折射率；

（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图2，已知α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．

分析 （1）根据cosα的值，设b=7x，则c=4x，利用勾股定理求出a=（4x）2－（7x）2=3x，进而可得sinα=ac=3x4x=34，问题可解；（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，根据sinαsinβ=sin60°sinβ=32，可得sinβ=33，在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，问题随之得解．

详解 （1）因为cosα=74，

所以如图3，设b=7x，则c=4x，

由勾股定理得，a=（4x）2－（7x）2=3x，

所以sinα=ac=3x4x=34，又因为β=30°，所以sinβ=sin30°=12，所以折射率为：sinαsinβ=3412=32．

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，

因为α=60°，所以sinαsinβ=sin60°sinβ=32，所以sinβ=33．

因为四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，所以AD=2OD，∠D=90°，

又因为∠OCD=β，所以sin∠OCD=sinβ=33，

在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，

由勾股定理得，CD=（3x）2－（3x）2=6x，所以tanβ=ODCD=3x6x=12．

又因为CD=10cm，所以OD10=12，所以OD=52cm，所以AD=102cm，

所以截面ABCD的面积为：102×10=1002cm2．

点评 本题以定义新概念介质的“绝对折射率”为背景，考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识.创新型试题有利于提升学生的学习兴趣，其新颖的形式和内容，让学生不再被动地接受知识，而是主动探索.

3 定义新规则

例3 （2024·四川泸州·中考）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移aa>0个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρa，θ变换．如点A2，0按照ρ1，90°变换后得到点A′的坐标为－1，2，则点B3，－1按照ρ2，105°变换后得到点B′的坐标为 ．

分析 根据题意，点B3，－1向上平移2个单位，得到点C3，1，再根据题意将点C3，1绕原点按逆时针方向旋转105°，得到OB′=OC=2，∠B′OD=45°，据此求解即可．

详解 根据题意，点B3，－1向上平移2个单位，得到点C3，1，

所以CE=1，OE=3，

所以OC=12+32=2，sin∠COE=CEOC=12，所以∠COE=30°，

根据题意，将点C3，1绕原点按逆时针方向旋转105°，

所以∠B′OE=105°+30°=135°，作B′D⊥x轴于点D，

所以OB′=OC=2，∠B′OD=180°－135°=45°，

所以B′D=OD=OB′·sin45°=2，所以点B′的坐标为－2，2，

故答案为：－2，2．

点评 本题定义新规则“图形的ρa，θ变换”，通过图形的ρa，θ变换，考查解直角三角形，坐标与图形等基础知识．此类创新型试题有助于选拔创新人才.在升学考试或者各类竞赛中，创新试题能够将具有创新意识、能灵活运用知识的学生筛选出来，挖掘有潜力的人才.