几何背景下线段最值问题的解题策略

【摘要】本文通过对不同类型的几何模型进行分析，结合具体实例，总结求解线段最值问题的有效方法，以提高学生解决此类问题的能力．

【关键词】初中数学；线段最值；解题策略

在数学学习中，线段最值问题是一个重要的研究课题．解决线段最值问题需要综合运用几何知识、代数方法和逻辑推理能力．通过对这类问题的深入研究，可以培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新意识．

1 “将军饮马”模型

例1 已知点P在∠MON内．

（1）如图1，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接OG、OH、OP、CH．

①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？

②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，若∠MON=30°， A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点E，试求PE+QE的最小值．

解析 （1）①△OGH是等边三角形，

因为点P关于OM对称的点为G，

所以OP=OG，∠POM=∠GOM，

同理OP=OH，∠PON=∠HON，

所以OG=OH，

因为∠MON=30°，

所以∠GOH=60°，

所以△OGH是等边三角形．

②GH=2OP，当∠MON=90°时，∠GOH=180°，

所以G、O、H在同一直线上，OP=OG=OH．

因为GH=OG+OH=2OC，

所以GH=2OP.

（2）过Q作ON的对称点Q′，连接PQ′，交ON于点E，连接QE，如图3，

所以PE+QE最小值为PQ′．

因为∠MON=30°，∠ABO=90°，

所以∠OAB=60°．

因为AQ=OP=2，QB=1.5，

所以AB=3.5，

所以OA=2AB=7，

所以AP=5．

因为点Q与Q′关于ON对称，

所以QB=Q′B=1.5，所以AQ′=5，所以△APQ′是等边三角形，

所以PQ′=5，即PE+QE的最小值为5．

点评 本题主要考查了轴对称—最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．首先要识别属于“将军饮马”模型，利用模型技巧作对称点并连线，即可快速解题．

2 垂线段最短模型

例2 如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值为 ．

解析 当DE⊥AB时，DE的值最小，

因为AD是∠BAC的平分线，

∠C＝90°，CD＝5，

所以DE的最小值＝CD＝5．

点评 本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短是解题的关键．

3 旋转求最值模型

例3 如图5，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求22BP+5AP+3PC最小值．

解析 如图6，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△AP′C′，将△AP′C′扩大，相似比为324倍，得到△AP″C″，

则AP″=324AP′，P″C″=324P′C′，

AC″=324AC′，

过点P作PE⊥AP″于E，

所以AE=PE=22AP，

所以P″E=AP″-AE=24AP，

所以PP″=PE2+P″E2=104AP，

当点B、P、P″、C″在同一直线上时，22BP+5AP+3PC=22PB+PP″+P″C″最短，

此时22PB+PP″+P″C″=22BC″，

因为∠BAC″=∠BAC+∠CAC″=90°，AB=6，

AC″=324AC′=324×4=32，

所以BC″=AB2+AC″2=62+（32）2=36．

所以22BP+5AP+3PC=22BC″=22×36=123.

点评 此题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理.正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．

4 结语

综上所述，在几何背景下求解线段最值问题，从以上三种模型中分别寻找相应的解题策略．在实际解题过程中，需要根据具体问题的特点，灵活选择合适的方法．通过对线段最值问题的深入研究和不断探索，可以提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，为进一步学习数学打下坚实的基础．

参考文献：

[1]丁力.初中数学几何最值问题探究——以“将军饮马”问题模型的解题策略为例[J].数学教学通讯，2020（14）：79-80.

[2]陆燕.初三学生在求解几何最值问题中思维障碍成因的调查研究[D].扬州：扬州大学，2023.

[3]陈礼弦.利用“两点之间线段最短”解决最值问题[J].数理化解题研究，2024（08）：13-15.