几何背景下线段最值问题的求解方法

【摘要】本文通过对垂线段最短问题、将军饮马问题和旋转最值问题等的研究，结合相关定理和性质，深入探讨在几何背景下线段最值问题的求解策略．通过丰富的实例详细阐述了这些方法的应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握求解线段最值问题的技巧．

【关键词】初中数学；线段最值；求解方法

在数学的几何领域中，线段最值问题是一个重要且常见的研究课题．这类问题不仅在数学理论中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用．因此，掌握线段最值问题的求解方法对于提高数学素养和解决实际问题的能力具有重要意义．

1 垂线段最短问题

例1 如图1，在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，∠BAC=90°，其中D是斜边BC上的动点，过点D分别作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，连接NM，那么线段MN的最小值为（ ）

（A）125. （B）52. （C）3. （D）4.

解析 因为∠BAC=90°，且AB=3，AC=4，

所以BC=AB2+AC2=5.

因为DM⊥AB，DN⊥AC，

所以∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，

所以四边形DMAN是矩形，可得MN=AD.

根据垂线段最短可知，AD⊥BC时AD最小.

此时，SABC=12AB×AC=12BC×AD，

所以AD=AB×ACBC=125，MN的最小值为125，

所以选项（A）正确．

点评 本题考查的主要知识点有：矩形的性质和判定的应用、垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握这些知识点是解决本题的基础．本题首先根据勾股定理可以求出BC，然后证明DMAN为矩形，进一步得到MN=AD，最后由垂线段最短即可解题．

2 将军饮马问题

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=60°，点P为MN上一动点，连接AP、BP．

（1）使AP+BP取最小值的动点P的位置在点C的 侧（填“左”或“右”）；

（2）当AP+BP的值最小时，∠CBP= ．

解析 （1）如图3所示，作点B关于直线MN对称的点D，再连接AD，交直线MN于点P，此时AP+BP有最小值，此时点P的位置在点C的左侧．

（2）当AP+BP的值最小时，

因为点B和点D关于直线MN对称，

所以∠BCN=∠DCN=60°，

BC=DC，∠CBP=∠D，

所以∠BCD=∠BCN+∠DCN=120°.

因为∠ACB=90°，

所以∠ACD=360°－∠ACB－∠BCD=150°.

因为AC=BC，BC=DC，

所以AC=DC，

所以∠CAD=∠D=15°，

所以∠CBP=∠D=15°．

点评 本题考查了求将军饮马问题、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识．第（1）问中，作点B关于直线MN对称的点D，连接AD，交直线MN于点P，此时AP+BP有最小值，即可得到点P的位置在点C的左侧；第（2）问中，当AP+BP的值最小时，根据轴对称的性质得到∠BCD=120°，进而得到∠ACD=150°，再证明AC=DC，得到∠CAD=∠D=15°，即可得到∠CBP=15°．

3 旋转最值问题

例3 如图4所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M点为矩形内一点，E点为BC边上任意一点，那么MA+MD+ME的最小值为 ．

解析 将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，如图5.

由旋转的性质可知：MD=M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，

所以AM=MM′，

所以MA+MD+ME=D′M′+MM′+ME，

所以D′M′、MM′、ME共线时距离和最短.

由于点E也为动点，

所以当D′E⊥BC时距离和最短，如图6，D＇E与AD交于点G，

此时易求得D′E=D′G+GE=4+33，

所以MA+MD+ME的最小值为4+33．

点评 本题主要考查了轴对称、矩形的性质、旋转变换、等边三角形等知识点，属于中考填空题中的压轴题．添加常用辅助线、构造等边三角形解决问题、用转化的思想思考问题是解决本题的关键，本题中，△AM′D′是将△AMD绕点A旋转得到的，所以MD=M′D′，在等边三角形ADD′和AMM′中，容易得出AM=MM′，进而可得MA+MD+ME=D′M+MM′+ME，容易得：当D′E⊥BC时距离和最短，进而得出D′E，即为MA+MD+ME的最小值．

4 结语

几何背景下线段最值问题的求解需要综合运用多种数学知识和方法．通过深入理解相关定理和性质，结合具体的问题情境，选择恰当的求解策略，能够有效地解决这类问题．在学习和研究过程中，不断积累经验，培养数学思维和创新能力，将有助于更好地应对各种数学挑战，并将数学知识应用于实际生活中．同时，随着数学的不断发展和创新，线段最值问题的研究也将不断深入和发展，为解决更复杂的数学和实际问题提供有力的支持．

参考文献：

[1]韩雨池.初中数学几何背景下最值问题求解策略[J].现代中学生（初中版），2021（12）：17-18.

[2]李宛珊.初中二次函数背景下几何最值的解题障碍研究[D].广州：广州大学，2022.

[3]丁力.初中数学几何最值问题探究——以“将军饮马”问题模型的解题策略为例[J].数学教学通讯，2020（14）：79-80.