数形结合方法与怎样解题表的互帮互助

【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调数形结合方法的重要性.乔治·波利亚的“怎样解题表”经过众多学者验证，对提高学生解题能力效果显著，本文借助“怎样解题表”研究了3类数形结合的题目，期望给一线教师提供教学帮助.

【关键词】数形结合；波利亚解题理论；数学解题

1 引言

“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”学者们基于不同角度对数形结合方法有不同的认识.乔治·波利亚在《怎样解题》一书中详细介绍了解题的一般过程，即“怎样解题表”，分为四个方面：理解题目、拟订方案、执行方案和回顾.本文将理解题目与拟定方案合并，基于“怎样解题表”研究用数形结合方法解决问题.

2 “怎样解题表”在数形结合方法中的应用

2.1 由数到形

例1 已知x2+y2=4，求2－y+5－2x的最小值.

2.1.1 拟订方案

由已知可得到一个圆，问题与距离有关，本题转化为求三点距离之和最小即三点共线，通过相似三角形的性质，将线段CA转化为线段CD，进而转为三点共线问题.

2.1.2 执行方案

由x2+y2=4，画一个圆心在原点，半径为2的圆（如图1）.

2－y+5－2x

=1－y+1+4－2x+1

=14x2+14y2－y+1+

x2+y2－2x+1=12x2+y－22+

x－12+y2.

转化为求圆x2+y2=4上一点C（x，y）到点B（0，2）和点A（1，0）的距离之和的最小值，因为△OCA相似于△ODC，相似比为2，所以CA=12CD，2－y+5－2x=12CB+CA=12（CB+CD）≥12BD=5.

2.1.3 回顾

本题使用的是数形结合中的由数到形，通过对数量关系的分析画出图像，然后解答问z55iRllGqvKAVQl9S/zcRhTrc20mN98jGZuxiO+lGrs=题.

2.2 由形到数

例2 如图2，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB=BC，∠DAC=30°，延长AC到E使得CE=CD，作射线ED交BO的延长线于点F，BF交AD于点G，若AO=4，求△FGD的周长.

2.2.1 拟订方案

本题需借助圆的知识解决.连接OD，由已知得△DOC是等边三角形，可得EF是圆的切线，进一步得所求三角形△FGD是等边三角形，只需求解一条边，即可得到三角形的周长.

2.2.2 执行方案

如图3，连接OD，因为AC是直径，∠DAC=30°，所以∠ADC=90°，∠ACD=60°.因为CD=CE，所以∠E=∠CDE=30°.因为CO=DO，所以∠ODC=60°，所以△DOC是等边三角，∠COD=60°，所以∠ODE=∠CDE+∠ODC=90°.

因为OD是半径，所以EF是圆O的切线，因为BA=BC，AO=CO，所以BOAC，∠AOG=∠EOF=90°.因为∠DAC=∠E=30°，所以∠AGO=∠F=60°，∠F=∠FGD=60°，所以△FGD是等边三角形，FD=FG=DG.

因为OA=4，∠DAC=30°，∠ADC=∠AOG=90°，所以AC=8，DC=12AC=4，AD=3DC=43，AG=2OG，AO=3OG，所以OG=433，AG=833，所以DG=433，△FGD的周长为3DG=43.

2.2.3 回顾

本题使用的是数形结合中的由形到数，通过图像分析和作辅助线，发现其中隐含的数量关系，进而回答问题.

2.3 双向转换

例3 如图4，抛物线y=12（x－3）2－1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）试求点A、B、D的坐标；

（2）连接CD，过原点O作OECD与抛物线的对称轴交于点E，求OE的长.

2.3.1 拟订方案

第一问令抛物线的解析式等于0，点A在点B的左侧，可得A、B的坐标，由抛物线解析式可得顶点D的坐标.第二问通过作辅助线以及三角形相似可求出OE的长.

2.3.2 执行方案

（1）由y=0得12（x－3）2－1=0，解得x1=3－2，x2=3+2.又点A在点B的左侧，所以A点坐标为（3－2，0），B点坐标为（3+2，0）.由抛物线解析式可得D（3，－1）.

（2）如图5，过点D作DGy轴于点G，设CD与x轴交于点F，对称轴与x轴交于点M.由题意得，∠DCG+∠COF=90°，∠EOM+∠COF=90°.

所以∠DCG=∠EOM，所以△DCG相似于△OME，CGOM=DGEM，又y=12（x－3）2－1与y轴交于点C，所以C（072），CG=92，即32=3EM，EM=2，E点坐标为（3，2），OE=32+22=13.

2.3.3 回顾

本题使用的是数形结合中的双向转换，既包括由数到形，也包括由形到数.当已知抛物线的解析式求抛物线与某条线的交点、顶点时，将函数解析式转换成图像，进行求解；求复杂图形中线段的长度可以构造已有认知结构中的图形，借助图形的性质，解决数的问题.

3 结语

随着新一轮课程改革的不断深入，数学题目考查的内容既包括知识，更看重能力，因此教师在讲解题目时应当渗透数学思想方法，逐步提升学生解决问题的能力.

参考文献：

[1]王元.华罗庚科普著作选集[M].上海：上海教育出版社，1984.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

[3]任樟辉.数学思维理论[M].南宁：广西教育出版社，2001.