初中二次函数动点问题的解题策略与教学研究

【摘要】随着初中阶段数学教学内容的深入，二次函数动点问题成为中考教学的重点内容，这类问题考查了学生函数知识、三角形知识、矩形知识以及动态转化静态的思维方式等，这类题型充分地展现出了初中数学的价值.考虑到动点问题的求解需要特定的数学技巧以及扎实的基础，为此对其进行系统的研究和讨论.本文详细地介绍几种二次函数动点题型，并提出具体、系统的思考方式和解题方法，减少学生对动点问题的排斥感，降低解题难度，增强学生的解题能力，实现数学教学优化.

【关键词】初中数学；二次函数；解题策略

二次函数动点问题常作为各地区中考压轴题目，难度较大，涉及知识点较多，需要学生明确此类题型的考查方式，掌握二次函数动点问题的解题思路.如动点的运动路径，与其他几何图形、直线关系.为此学生要了解并掌握二次函数的特点，灵活地应用几何知识与代数知识.

例1 如图1，二次函数y=－14x2+32x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E.

（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF，试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE=FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

分析 此题目是关于二次函数图象以及性质的题目，在题干中给出了二次函数y=－14x2+32x+4，得到A（－2，0）、B（8，0）和C（0，4），利用待定系数法，可直接求解出BC直线的解析式，即y=－12x+4.针对例题1中的第（3）问，过C作CH⊥PD于点H（如图2所示）.假设点P的坐标为P（m，－14m2+32m+4），根据PF∥AC，可以假设直线PF的解析式为y=2x+b，并由此得到PF的解析式为y=2x－14m2－12m+4，F（0，－14m2－12m+4），得到OF=－14m2－12m+4.在本道题目解答中，利用了三角形相似，Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），并由此得到∠HCE=∠FDO，相应的∠FDO=∠CBO，tan∠FDO=tan∠CBO，故－14m2－12m+4m=48，

解得m=25－2或m=4.

例2 如图3，二次函数y=－x2+bx+c（b>0）的图象与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，二次函数的最大值为254，P为直线BC上方抛物线上的一动点.

（1）求抛物线和直线BC的解析式；

（2）如图3，过点P作PD⊥BC，垂足为D，连接CP．是否存在点P，使以点C，D，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图4，点Q也是直线BC上方抛物线上的一动点（点Q在点P的左侧），分别过点P，Q作y轴的平行线，分别交直线BC于点M，N，连接PQ．若四边形PQNM是平行四边形，且周长l最大时，求l的最大值及相应的点P的横坐标．

分析 在解决二次函数动点问题中，需要将动态问题转化为对应的静态问题，以帮助梳理题干信息、分析与理解问题[1].在本题目第（3）问中，Q为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点M作MF⊥QF，交QN延长线上一点F，此时可以得到一个平行四边形PQNM（如图5所示），假设PM=n，此时可以求出直线PQ的解析式，将直线与抛物线解析式联立y=－x+4+ny=－x2+3x+4，可以得到FM长，FM=xp－xQ=24－n，在等腰直角三角形FMN中求解出MN的长度，MN=FMcos∠NMF=24－ncos45°=22×4－n=28－2n，再利用含有n的代数式表示平行四边形的PQMN周长，即l=2（MN+PM）=－（8－2n）2+48－2n+8=－（8－2n－2）2+12，并根据二次函数的性质，计算出周长l的最大数值12，以及此时n的数值2，故P的横坐标为2+2.

结语

经过上述题型练习，学生可以总结出常见的二次函数动点问题的解题思想，采用化归、分类讨论的方式，可以将动态问题转换为静态问题，进而提炼出解题路径，以此来提升学生的解题能力，培养学生的综合素养.

参考文献：

[1]陈进发.二次函数动点问题解题教学设计[J].中学数学，2024（12）：53-54.