巧用角平分线解题

同学们学习角平分线性质定理之后，几何题的难度陡然上升. 下面结合例题介绍利用角平分线性质定理解题的思路.

一、识图、构图

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，故我们可用对称折叠的视角来认识角平分线.

例1 如图1，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC + ∠D = 180°，CE ⊥ AB于点E. 请直接写出线段AB，AD，AE之间的数量关系.

分析：图形中出现角平分线和一个垂直，可以借助角平分线性质构图. 如图2，作CF ⊥ AD，可证△BCE ≌ △DCF（AAS），可以得到BE = DF，∴AB + BE = AD - DF = AE = AF，∴AB + AD = 2AE.

变式：如图3，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ⊥ BC于点E. 若∠ABC = 60°，∠C = 45°，DE = 3，BD = 6，则△ABD的面积为 ，[S△ABDS△BCD ][=] ，[ABAC=] ，[ADCD=] .

思路：借助三角内角和可得到∠A = ∠ADB = 75°，∴AB = BD = 6，[S△ABD]= [12]AB[∙DE=9]；合理借助高底转换面积，有[S△ABDS△BCD=ABBC=ADCD=63+33=3] - 1.

二、动图、折图

例2 将一张宽为4 cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图4所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 .

思路：折叠最显著的特征是产生轴对称图形，折痕往往成为某个角的角平分线，这就使得动图折叠和角平分线的关系十分密切. 过角平分线上一点作角一边的平行线，从而构造出等腰三角形，又是一个热点问题.

由此，图形中∠ABD = ∠ABC = ∠BAC，得AC = BC.

∴S△ABC = [12]AC[∙]h = 2AC.

∵AC的最小值即BC的最小值，即为平行线之间的距离4，

∴当BC = 4时，面积最小为8.

例3 如图5，在Rt△CEF中，∠C = 90°，∠CEF，∠CFE外角平分线相交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，垂足为B，D.

（1）∠EAF的度数为 .

（2）从下面两个选项中选择一个证明即可：

选项①：求证点A在∠BCD的平分线上；

选项②：求证四边形ABCD是正方形.

思路：（1）∠EAF = 90° [- 12]∠C. 借助以下两式： ∠EAF = 180° - （[α+β]），∠C = 180° - ［（180° - 2[α]） + （180° - 2[β]）］ = 2（[α+β]） - 180°，即可推导出结论.

（2）两个选项本质一样，借助角平分线的性质，作AG ⊥ EF，将AG作为桥梁，得到AG = AB = AD，再运用角平分线判定定理，得到点A在∠BCD的平分线上.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：6分钟

1. 如图6，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE ⊥ AB于点E，点F在AC上，BD = DF，若AB = 13，AF = 8，则CF的长为 .

2. 如图7，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，AD ⊥ BE，点F为AC 的中点，则线段DF，BC，AB满足的关系为 .

（答案见第39页）

（作者单位：江苏省泰州市汪群初级中学）