基于单元整体教学的数学实验设计

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调“重视单元整体教学设计”，中央电化教育馆将小学数学实验纳入《中小学实验教学基本目录（2023年版）》。基于单元整体教学的数学实验，既以单元整体教学的理念指导数学实验设计，也以数学实验的优化设计与开展更好地落实单元整体教学，突出整体性、结构化特征，有效帮助学生理解数学本质、建构认知图式，其设计策略主要包括基于单元内容的整体设计、遵循认知规律的科学设计，从而既发挥数学实验“手脑并用、启思明理”的优势，又促进数学知识之间、数学知识学习与核心素养发展之间的密切关联。

【关键词】单元整体教学 数学实验 核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“课程实施”的“教学建议”中指出，要“重视单元整体教学设计”并明确其基本内涵“体现数学知识的内在逻辑联系，以及学习内容与核心素养表现的关联”。中央电化教育馆组织研制的《中小学实验教学基本目录（2023年版）》（以下简称“基本目录”）中包含多项小学数学实验。数学实验是指让小学生通过操作材料或工具来探索数学的概念、性质、关系、规律，进而获得数学“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），发展“四能”（发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力），形成积极情感、态度的学习活动。基于单元整体教学的数学实验设计，要以新课标和基本目录的精神为指导，处理好单元整体教学与数学实验的关系，既以单元整体教学的理念指导数学实验设计，也以数学实验的优化设计与开展更好地落实单元整体教学。

一、基于单元整体教学的数学实验的特征

小学数学实验本身具有显著的特征，比如实验工具的直观性、实验问题的情境性、实验过程的操作性、实验活动的探究性、实验主体的参与性等。基于单元整体教学的数学实验，除具备上述特征外，还有以下两个特征。

（一）整体性：核心概念统领

一次数学实验本身就是一个完整的学习事件，学生基于问题，操作材料和工具，展开探索，得出结论或解决问题；若干次相关的数学实验组成的系列实验，成为更大的学习事件。这些都是整体性特征的外在表现。基于单元整体教学的数学实验，无论单个还是系列，都以核心概念统领，这是整体性特征的内在特质，因为核心概念能够反映学科本质，将知识点形成知识网络，在同类内容间广泛迁移，能“体现数学知识的内在逻辑联系”，如计数单位、度量单位等都是小学数学的核心概念。以核心概念为统领的数学实验，着力引导学生发现并建立知识之间的关联，实现知识和能力的进阶，持续完善认知结构。

以计数单位为例，儿童在认识自然数的过程中要建立诸多概念，如数字符号1～9和0，每个数的意义及表示、大小和组成，个、十、百、千等计数单位及相应的数位。其中以计数单位的理解最为关键，它也关联自然数的四则运算和小数意义、性质及运算（小数的计数单位和自然数在原理上保持一致）。数学概念的高度抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，决定了小学生认识计数单位，需要直观材料和工具的支持，教学中教师常用小方块和计数器（算盘），让学生通过操作、观察，充分感知并逐步理解计数单位的形成、表征（实物、图形、符号表征）和联系（图1）。

（二）结构化：搭建学习支架

结构是各个要素单位构成的有机整体。就学习而言，结构化不仅有内容的结构化，也有方式的结构化。作为学习方式的数学实验，其结构化特征主要表现在两个方面：一是结构化的实验材料和工具（与实验名称和目的、过程和方法一样，都是实验设计的要素），成为学生开展实验的支架；二是单次实验成为系列实验的支架，进而使数学实验成为学生学习的支架。

实验材料和工具的结构化设计，是指所提供的材料和工具有内在联系，能激活学生已有经验，使学生主动思考问题、材料和工具之间的联系，通过操作解决问题，并从中发现数学的概念或性质、关系、规律。比如“面积的意义”的教学，在学生观察触摸身边的事物、给封闭图形边线所围的区域涂色，初步感知面积后，教师布置学习任务：比较正方形、长方形纸片面积的大小。教师提供材料和工具：红色正方形纸片（规格：边长5厘米）、绿色长方形纸片（规格：长6厘米、宽4厘米），剪刀，面积量具（规格：正方形透明塑料片，边长10厘米，分成100个方格）。在探索过程中，学生发现先前所用的“观察、触摸、涂色”等方法，无法完成新任务，受结构化材料和工具启发，学生思考、操作：将两张纸片重叠（但不能重合）；剪下各自不能重合的部分进行二次重叠，比出大小；再次剪下不能重合的部分（一小块正方形），提出问题“原来的正方形、长方形，面积各有几个这样的小正方形？”；将面积量具覆盖到原来正方形、长方形上，数出“25格、24格”；比较两种方法（多次重叠法、数方格法）的异同，感悟“数方格法”的优点，加深理解面积的意义（进行这样的表述：正方形的面积是25格，长方形的面积是24格）。

单次实验成为系列实验的支架，是指同一单元（甚至相同主题、领域）不同课时的学习内容，如果都采用数学实验的方式，前后实验之间具有关联性、进阶性，前面的实验应成为后面实验的支架，实现知识的理解、迁移乃至创新。比如“多边形的面积”的教学，学生先探索平行四边形的面积公式，基于对面积的意义及测量的基本方法—数格法的理解，将平行四边形置于方格背景中，逐个地将不整格的拼成整格后计数，由此想到沿着高剪下整个大三角形后把平行四边形转化成长方形，进而推导出面积计算公式；再探索三角形面积，继续用数格法，受探索平行四边形面积公式时的实验启发，想到沿着高把三角形分成两个直角三角形来“数”面积（每个直角三角形都是某个长方形的一半），进而想到“复制一个同样的三角形”拼成平行四边形，推导出面积计算公式；在探索梯形的面积公式时，受前两个实验的启发，设计不同实验，殊途同归，推导出公式。

二、基于单元整体教学的数学实验的意义

基于单元整体教学的数学实验，除了具备如激发学生的学习兴趣、转变学生的学习方式、培养学生的数学思维、助力学生积累经验等意义和价值，还能落实新课标关于强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构的要求。

（一）理解数学本质

数学本质是数学相对于其他学科所具有的独特规定性，主要包括数学知识的产生和来源，所反映事物的本质或规律，数学的方法与思想，数学知识的基本原理、关系和结构，数学知识的作用和价值等基本内涵，而核心概念是这些数学本质基本内涵的集中反映。以核心概念为统领的数学实验，着力引导学生在掌握基础知识、基本技能的同时，感悟和积累基本思想、基本活动经验，不仅知道数学“是什么”“怎么做”，也能发现和提出“为什么”“有什么联系”“还能怎样”等问题并展开探索，从而理解数学本质。

例如，“可能性”的教学，学生分组做“实验一（实物实验）”：口袋里有一红和一黄两个颜色不同的球，每次从中任意摸出1个，记录颜色后放回，摸10次。每组展示记录表，交流摸球过程、体会：每次摸出的可能是红球，也可能是黄球；每个球都有可能被摸出；每次摸球可能得到的结果是两种；每次摸球前无法确定摸到哪个球；前一次的结果不会影响后一次……在此基础上，开展“实验二（思维实验）”：口袋里有两个完全相同的红球，每次从中任意摸出1个，摸出的一定是红球吗？学生能想到：每次摸出的可能是这个红球，也可能是那个红球，两种可能的结果都是红球，所以一定是红球。实验一旨在引导学生理解“可能性”这一核心概念；实验二旨在促进学生思考、理解为什么“摸出的一定是红球”。

（二）建构认知图式

图式是“围绕某个主题组织起来的认知框架或认知结构，是一些观念及其关系的集合”。皮亚杰认为，个体的认知图式是通过同化和顺化而不断发展，以适应新的环境的。就儿童学习数学时建立认知图式来说，同化是把新的数学观念及其关系纳入已有认知结构中，顺化是建立新的图式或调整原有图式以适应新的数学观念及其关系。基于单元整体教学的数学实验，重视搭建学习支架，帮助学生主动进行同化或顺化，建立起有意义的知识结构。

例如，学生第一次认识分数，动手依次把“4个苹果”“2瓶矿泉水”“1个蛋糕”分别平均分成2份，发现前两次都能用整数表示结果，第三次不能，但是这三次分东西都是客观存在现象，分得的结果也是客观存在的事物，需要用一个数来表达。于是，学生原有的认知平衡被打破，亟须建立新的认知图式，分数得以引入。之后学生继续操作，比如将1个橙子2等分，将1个正方形2等分，从具体到一般，从感性到理性，初步完成关于数概念的一次图式的顺化。

三、基于单元整体教学的数学实验设计策略

基于单元整体教学的数学实验设计，要整体分析数学内容本质和学生认知规律，以及“主题—单元—课时”的数学知识和核心素养的主要表现，规划主题、单元、课时的系列实验和单个实验，从实验名称和目的、材料和工具、过程和方法等多个维度进行设计，促进学生整体理解数学教学内容，逐步发展核心素养。

（一）基于单元内容：整体设计实验

基于单元内容整体设计实验，一是指数学实验设计要进行单元整体设计，用核心概念统领单元各个课时的数学实验；二是指数学实验设计要从数学内容本质出发，服务于学生探索并理解数学内容本质；三是指数学实验设计要支持学生不断完善认知图式。其基本流程如图2。

比如“分数乘法”的教学，既要使学生理解分数乘法的意义及算理并掌握算法，形成初步的分数乘法运算能力，又要使学生会解决“求一个数的几分之几是多少”的实际问题，初步形成模型意识和应用意识，而后者又以前者为基础，即学生理解了分数乘法的意义也就能理解相关实际问题的数量关系。因此，本单元的数学实验整体设计，以帮助学生理解分数乘法的意义及算理为主要目的。其中，分数乘法的意义包括两个方面：分数乘整数的意义和整数乘法相同，都是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少（这是乘法意义在分数中的拓展，也是分数乘法的本质）；分数乘法的算理，相关的核心概念是分数的“计数单位”，学生基于分数的意义和分数乘法的意义进行探索，发现并理解“积的分数单位及其个数与乘数的分数单位及其个数的关系”。基于此，本单元的数学实验整体设计如表1。

（二）遵循认知规律：科学设计实验

关于认知规律，有许多学习理论可借鉴，比如皮亚杰建构主义学习理论，布鲁纳认知结构学习理论，奥苏贝尔认知同化学习理论，布鲁姆掌握学习理论，等等。基于单元整体教学的数学实验设计在遵循经典学习理论所揭示的认知规律时，还要注意结合数学的学科特点。新课标指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。学生学习“三会”所遵循的认知规律，既有共性的，如“小学生的思维，总的趋势是从具体形象思维向抽象思维过渡”，也有个性的，如“数学的眼光”主要指“数学抽象”，无论是数量与数量关系的抽象还是图形与图形关系的抽象，都要经历“从感性到理性、从具体到一般”的过程。

需要指出的是，新课标特别强调“四能”（在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析和解决问题），虽然国内外的课程标准一致认可问题提出的重要性，但是在教材和课堂教学中，问题提出既不充分也不连贯。对学生而言，数学问题提出是在特定的活动下，能够基于特定的情境（问题背景或情境）形成或再形成一个数学问题或任务……问题提出主要包括两方面的心智活动：①学生基于给定的问题情境提出数学问题，这些情境可能包括数学表达式或图表；②学生通过改变（或改编）已有问题来提出新的数学问题。据此，可以通过数学实验引导学生提出问题。这样的问题一般有两种类型：一是通过实验产生的新问题；二是借助实验转化所给的问题（比如将问题A转化为问题B，问题B相当于提出的新问题）。每种类型都可以在三个节点提出：问题解决前，问题解决中，问题解决后。

例如，教学“三角形的三边关系”时，教师可以整体设计实验引导学生提出问题，并通过问题解决推动数学实验的设计与实施。见表2。

基于上述实验，还能引导学生进一步提出问题，比如改编已有问题后提出新问题：三角形任意两边长度之差和第三边有没有关系，有什么关系？四边形任意三边长度的和与第四边有什么关系？将实验得到的结论应用于实际情况并提出新的问题：一块等腰三角形菜地，有两条边分别长10米、20米。给菜地围上篱笆，篱笆全长是多少米？从知识结构化的角度提出新的问题：三角形的边有这样的关系，与三角形的角有没有关系，有什么关系？（下一课时，学习的是“三角形内角和”）

总之，基于单元整体教学的数学实验设计，以整体性和结构化为基本特征，着力引导学生理解数学本质，建构认知图式，既发挥数学实验“手脑并用、启思明理”的优势，又促进数学知识之间、数学知识学习与核心素养发展之间的密切关联。基于单元内容整体教学的数学实验设计，也要遵循学生的认知规律，当下，要特别关注遵循问题提出的心智活动规律，通过整体设计实验引导学生提出问题，并把数学实验和问题解决相互融合，共同推进，实现整体教学，发展学生的核心素养。

【参考文献】

[1]喻平.学科关键能力的生成与评价[J].数学教育学报，2018（4）.

[2]皮连生.学与教的心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[3]林崇德.智力发展与数学学习[M].北京：中国轻工业出版社，2011.

[4]王嵘，蔡金法.问题提出：从课程设计到课堂实践[J].课程·教材·教法，2020（1）.

[5]蔡金法，姚一玲. 数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究[J].数学教育学报，2019（8）.

注：本文系江苏省教学研究立项课题“区域推进‘序进数学’课堂教学的实践研究”（项目编号：2019JK13-L144）的阶段成果。