考虑体积势能的范氏气体内能公式及说明

摘要：范氏气态方程考虑了气体分子体积压强和分子引力压强，所以，范氏气体的内能也应考虑分子体积势能和分子引力势能，而以往大学物理教材给出的范氏气体内能公式是没有考虑分子体积势能的，显然是不符合实际的。下面将在以往大学物理教材给出的范氏气体内能公式的基础上，结合范氏气体的势能曲线图，导出考虑分子体积势能的范氏气体内能公式的积分式，并进行了验证。其作为扩展内容，在补充说明中又提出了考虑体积势能的范氏气体内能公式的简化式，范氏气体定压热容公式，一般气体定压热容公式，一般气体内能方程。

关键词：范氏气体内能；理想气体内能；体积势能；引力势能

1公式的导出

以往大学物理教材给出的N摩尔范氏气体内能公式为：

U=CVT-N2aV（1）

式中：U——范氏气体内能；CVT——理想气体内能；-N2aV——分子引力势能。

由范氏气体势能曲线可见，式（1）的适用范围是分子间距离r>d（d为分子有效直经）时，如果在r=d时，则式（1）应修正为：

U=CVT+E体-N2aV（2）

式中：E体——分子体积势能。

范氏气体膨胀时，增加的分子体积势能，等于反抗分子体积压强所做的功，而分子体积压强P体所做的功微分式为：

dA=P体dV=NRTV-bN-NRTVdV=N2bRT（V-bN）VdV（3）

则分子体积势能的增量为：

dE体=-dA=-N2bRT（V-bN）VdV（4）

对式（4）积分得：

E体=-∫N2bRT（V-bN）VdV（5）

式（5）便是体积势能E体的公式。

把式（5）代入式（2）得：

U=CVT-∫N2bRT（V-bN）VdV-N2aV（6）

式（6）便是考虑体积势能的范氏气体内能公式。

2公式的验证

由式（6）可见，分子势能（体积势能和引力势能）为：

E势=-∫N2bRT（V-bN）VdV-N2aV（7）

E势VT=dE势dV=-N2bRT（V-bN）V+N2aV2（8）

在V=2bN，T=a2Rb的情况下，式（8）可简化为：

E势VT=-N2aV2+N2aV2=0（9）

因为在等压最大值参量V=2bN，T=a2Rb的情况下范氏气体可过渡到理想气体，所以在这种情况下，势能E势随体积V的变化率E势VT必定等于零（和理想气体一样），由式（9）可见，E势VT=0，这就验证了式（6）是符合实际的，是正确的（这一验证叫焦耳实验）。

对于范氏气体有：

N2aV2=TPTV-P（10）

把式（10）代入式（8）得：

E势VT=-N2bRT（V-bN）V+TPTV-P（11）

式（11）便是考虑体积势能的范氏气体内能方程，而范氏气态方程可写为：

P=NRTV+N2bRT（V-bN）V-N2aV2（12）

则TPTV的表达式为：

TPTV=NRTV+N2bRT（V-bN）V（13）

把式（13）、式（12）代入式（11）得：

E势VT=-N2bRT（V-bN）V+N2aV2（14）

可见，式（14）就是式（8），这就从气体的内能方程来验证了式（6）是符合实际的，是正确的。

3补充说明

由式（5）得：

E体=-∫N2bRT（V-bN）VdV=-∫N2bRT1-bNVV2dV（15）

对式（15）直接积分很困难，但在式（15）中，1bNV，所以可把1-bNV近似看作常量，这样，也就可以把N2bRT1-bNV近似看作常量，则由式（15）得：

E体=-N2bRT1-bNV∫dVV2=-N2bRT1-bNV-1V+C（16）

式（16）中，C为积分常量，如果取气体无限稀薄时，分子间的势能为零，则C=0，则由式（15）、式（16）得：

E体=-∫N2bRT（V-bN）VdV=N2bRT1-bNVV=N2bRT（V-bN）（17）

把式（17）代入式（6）得：

U=CVT+N2bRT（V-bN）-N2aV（18）

式（18）便是式（6）的简化式：

在V=2bN，T=a2Rb的情况下，式（18）简化为：

U=CVT+N2aV-N2aV=CVT（19）

式（19）正是焦耳实验的结果。这就验证了式（18）和式（6）一样，是符合实际的，是正确的。

在式（17）中，求E体对V的导数得：

dE体dV=dN2bRT1-bNVVdV（20）

在式（20）中，同样把N2bRT1-bNV近似看作常量，则：

dE体dV=N2bRT1-bNV·d1VdV=N2bRT1-bNV·-1V2=-N2bRT（V-bN）V（21）

在式（5）中，求E体对V的导数得：

dE体dV=-d∫N2bRT（V-bN）VdVdV=-N2bRT（V-bN）V（22）

可见，式（22）和式（21）相同，则二者的微分均为：

dE体=-N2bRT（V-bN）VdV（23）

可见，式（23）便回归到式（4），这就说明，前面积分和求导作近似性处理是可以的。

实际上，范氏气态方程本身就有近似性，前面积分和求导的近似性，正好对得住范氏气态方程本身的近似性。

前面式（11）又可写为：

E势VT+P=TPTV-N2bRT（V-bN）V（24）

由式（24）可得考虑体积势能的范氏气体定压热容为：

CP=CV+E势VT+PVTP

=CV+TPTV-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+TPTVVTP-N2bRT（V-bN）VVTP（25）

把前面式（13）代入式（25）得：

CP=CV+NRTV+N2bRT（V-bN）VVTP-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+NRTVVTP+N2bRT（V-bN）VVTP-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+NRTVVTP（26）

式（26）便是考虑体积势能的范氏气体定压热容公式，式中：

VTP=NRNRTV+N2bRT（V-bN）V-2N2a（V-bN）V3（27）

在等压最大值参量V=2bN，T=a2Rb的情况下，式（27）简化为：

VTP=NRNRTV=VT（28）

把式（28）代入式（26）得：

CP=CV+NRTV·VT=CV+NR（29）

而N摩尔理想气体的定压热容公式为：

CP理=CV+NR（30）

因为在等压最大值参量V=2bN，T=a2Rb的情况下，范氏气体可过渡到理想气体，所以在这种情况下，范氏气体的内能U必定等于理想气体的内能CVT，由式（19）可见，U=CVT，同时范氏气体的定压热容CP也必定等于理想气体的定压热容CP理，由式（29）和式（30）可见，CP=CP理，由此可见，考虑体积势能的范氏气体内能公式（6）和式（18）的正确性，与考虑体积势能的范氏气体定压热容公式（26）的正确性起到了相互验证的作用。

如果用一般气体的体积势能E体随体积V的变化率E体VT来取代式（11）中的-N2bRT（V-bN）V则式（11）成为：

E势VT=E体VT+TPTV-P（31）

式（31）叫考虑体积势能的一般气体内能方程，如果用一般气体的E体VT取代式（25）中的-N2bRT（V-bN）V，则式（25）成为：

CP=CV+TPTVVTP+E体VTVTP（32）

式（32）叫考虑体积势能的一般气体定压热容公式。

结语

本文提出了考虑体积势能的范氏气体内能公式的积分式（6），在补充说明中又提出了考虑体积势能的范氏气体内能公式的简化式（18），考虑体积势能的范氏气体定压热容公式（26），考虑体积势能的一般气体定压热容公式（32），考虑体积势能的一般气体内能方程式（31），这5个公式的提出，是物理学上的一大进步。

参考文献：

［1］教育部组织编写，聂宜如.热学［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］王子佳.等压最大值情况下范氏气体可过度到理想气体［J］.科技风，2019（32）：181+185.

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［4］王子佳.等压最大值定律［J］.陇东学院学报，2011，22（04）：2627.

［5］王子佳.考虑体积势能的范氏气体定压热容公式和内能公式［N］.科学导报，20240517（B03）.

［6］张玉民.热学［M］.2版.北京：科学出版社，2006.

［7］范宏昌.热学［M］.北京：科学出版社，2003

［8］赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程：热学［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

作者简介：王子佳（1953—），男，广西玉林人，工程师，教师，矿井设计师，从事矿井设计及物理研究工作。