类比法在“线性代数”课程中的应用探究

摘要：“线性代数”是大学数学的基础课程，是理工类、经济管理类各专业的必修课，为后续专业课程的学习提供必要的数学知识和方法.二次型是“线性代数”课程中的重点学习内容之一，在数学的其他分支以及经济管理、工程技术等领域都有着广泛应用，但是该部分内容较复杂、抽象难以理解和记忆，往往是学生学习的难点.本文探讨了如何将学生已经学习过的线性方程组相关内容类比运用到二次型的教学中.教学实践表明，类比法能够有效激活学生的思维，帮助学生掌握不同知识点之间的联系与区别，提高分析问题解决问题的能力.

关键词：类比法；线性代数；线性方程组；二次型

1概述

“线性代数”是理工科和经济管理类专业的一门重要的数学基础课程，在不同的领域有着非常广泛的应用，比如电子信息、自动化、材料、计算机、生物等学科，为学生后续专业课程学习以及将来在工作中对实际问题的解决提供了必要的数学知识方法，对学生逻辑思维能力、创新意识和能力以及应用能力的培养有着重要的作用［1］.因此，教师应高度重视“线性代数”课程的教学.“线性代数”课程的特点是：概念定理多，逻辑性、抽象性强，课时量不足，学习难度大.而二次型又是“线性代数”课程中的重要内容，其在数学的其他分支领域以及经济管理、工程技术等领域有着广泛应用［2］，比如在概率统计中协方差矩阵理论、供应链管理与协调理论中的最优化方法.由于二次型涉及概念多、内容复杂抽象、计算烦琐，学生在学习时往往很难短时间内消化吸收，考完即忘的情况比较普遍，严重影响了教学质量［3］.而抽象性、复杂性又是数学的一个基本特征，这就要求教师在教学时要特别注意提高学生学习的积极性，激发学生主动思考，积极参与课堂活动.恰当运用类比分析法能够化抽象为直观、变未知为已知，有助于掌握新旧知识之间的联系与区别，帮助学生高效理解记忆和灵活运用所学知识.本文是笔者教授“线性代数”课程时对一些相关联的知识、方法的思考和教学实践体会，探讨了如何将学生已经学习过的线性方程组相关内容类比运用到二次型的教学中，旨在帮助学生更加高效深刻地掌握二次型的相关知识点.教学实践表明，恰当运用类比法能够有效提高学生学习二次型的积极性，帮助学生把不容易掌握的新知识转化为已经学过的相关旧知识，提高学生分析问题解决问题的能力，进而提高“线性代数”教学质量.

2在二次型教学中线性方程组的类比应用

2.1线性方程组的矩阵表示与二次型的矩阵表示

二次型的矩阵表示能够借助矩阵这个有力的工具研究二次型的性质，是二次型理论学习的基础.但是不少学生在初学二次型的矩阵表示时，常常只是背结论，不能直观理解这种表示的合理性.在教学中，笔者注意运用二次型矩阵表示与线性方程组的矩阵表示的联系，将线性方程组的矩阵表示类比到二次型的矩阵表示上，帮助学生理解新旧知识之间的关系、提高学习兴趣，从而缩短学生理解记忆的时间，提高学习效率［4］，为后面二次型理论的深入学习打下扎实基础.

设一般的含有m个方程，n个未知量的线性方程组为：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

……

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm（1）

如果令A1=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn，X=x1

x2

xn，b=b1

b2

bm，则由矩阵的乘法可知，方程组（1）可以用矩阵表示为A1X=b，一般的n元二次型：

f（x1，x2，…，xn）=a11x21+a22x22+…+annx2n+2a12x1x2

+2a13x1x3+…+2an-1，nxn-1xn（2）

如果令2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），则可以将式（2）写成n行相加的形式：

f（x1，x2，…，xn）=（a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn）x1

+（a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn）x2

+…

+（an1x1+an2x2+an3x3+…+annxn）xn.

这个式子每一行括号内的式子就和线性方程组（1）中的某一个方程的左边部分类似，故可以类比线性方程组的矩阵表示方法用列矩阵A2X来表示，

其中，A2=a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann，A2T=A2，X=x1

x2

xn.

然后再用这些小括号中的式子分别和x1，x2，…，xn相乘再相加，故在用行矩阵XT左乘上面的列矩阵A2X即可，所以该n元二次型可以用矩阵表示为：

f（x1，x2，…，xn）=XTA2X（3）

例1：设二次型f（x1，x2，x3）=x22+2x23-4x1x2+2x1x3-8x2x3.试求二次型的矩阵A及用二次的矩阵A将该二次型用矩阵表示.

解：因为f（x1，x2，x3）=0x21-2x1x2+x1x3-2x2x1+x22-4x2x3+x3x1-4x3x2+2x23=（0x1-2x2+x3）x1+（-2x1+x2-4x3）x2+（x1-4x2+2x3）x3，

所以二次型的矩阵A=0-21

-21-4

1-42，f（x1，x2，x3）=XTAX，其中X=x1

x2

x3.

2.2齐次线性方程组基础解系所包含解的个数与二次型的标准形中所含的项数

二次型理论的一个重要内容是二次型化为标准形，在研究二次型时通常将其转化为标准形，比如讨论二次型的正定性，并且二次型的标准形在研究二次曲线的性质等方面有重要的应用［5］.在教学中，先通过具体的二次型例子引导学生发现同一个二次型的标准型是不唯一的，但是标准形所含的项数却是唯一的.在探究其背后原理时，笔者有意识地引导学生类比齐次线性方程组基础解系所包含解的个数也是唯一的，以此激发学生的思考，培养学生数学学习的主动性和良好的数学思维习惯.

设一般的一个齐次线性方程组为：

A1X=0（4）

其中A1=（aij）m×n，X=（x1，x2，…，xn）T，0=（0，0，…，0）T，则当系数矩阵A1的秩R（A1）=r<n时，该齐次线性方程组有基础解系，并且任一基础解系所含解的个数均为n-r.由于基础解系就是齐次线性方程组全体解向量的极大线性无关组，所以它是不唯一的，但是不同的基础解系所含解的个数都等于n-r，是唯一确定的.

对一个一般的n元二次型式（3），一定存在可逆变换X=CY，使得二次型化为标准形，即：

f（x1，x2，…，xn）=XTA2X

=YT（CTA2C）Y

=d1y21+d2y22+…+dny2n.

二次型的标准形的矩阵是对角矩阵：

CTA2C=d10…0

0d2…0

00…dn

由于C是可逆矩阵，所以CT也是可逆矩阵，故矩阵A2的秩等于对角矩阵CTA2C的秩，即等于对角线上不为零的元素的个数.所以二次型f（x1，x2，…，xn）=XTA2X的标准形中不为零的项的系数虽然是不唯一的，但是不为零的项的个数都等于二次型的秩，是唯一确定的.

例2：已知二次型f（x1，x2，x3）=5x21+x22+cx23-2x1x2+6x1x3-8x2x3的标准形的秩为2，求参数c的值.

解：因为二次型的标准形的秩为2，所以原二次型的秩也为2.

即矩阵A=5-13

-11-4

3-4c的秩为2，所以A=0.由A=5-13

-11-4

3-4c=04-17

-11-4

0-1c-12=4-17

-1c-12=4c-65=0.

解得c=654.

2.3初等变换不改变矩阵的秩与可逆实线性变换不改变实二次型的正定性

初等变换不改变矩阵的秩是用初等变换法求矩阵秩的理论基础，在矩阵理论中有重要的作用.但是二次型的正定性计算复杂抽象，学生不容易理解和记忆，而二次型的标准形在判断正定性时更容易理解，因此一个二次型通过可逆线性变换化为标准形的过程中正定性是否发生变化就是一个关键问题了.对于“可逆线性变换不改变实二次型的正定性”命题的证明，只需证明矩阵A经过一次初等变换成为B时，R（A）≤R（B），即经过一次初等变换之后矩阵的秩是不减小的.这是因为矩阵的初等变换具有可逆性，所以矩阵B一定也可以经过一次初等变换得到矩阵A，从而有R（B）≤R（A），R（A）=R（B）.主流教材中都有完整证明，这里就不赘述了.

可逆实线性变换不改变实二次型的正定性是通过将二次型化成标准形判定其正定性的理论基础，在二次型理论中有重要作用.在证明时注意到做的是可逆实线性变换，故与前面证明初等变换不改变矩阵的秩类似，只用证明“一半”即可.设二次型式（3）是实二次型，对其作可逆实线性变换X=C1Y，得：

h（y1，y2，…，yn）=XTA2X=YT（CT1A2C1）Y（5）

由于C1是可逆矩阵，所以二次型式（5）也可以经过可逆实线性变换Y=C-11X变为二次型式（3），故当二次型式（5）正定时式（3）也正定.所以可逆实线性变换保持二次型的正定性不变.

例3：试通过二次型的标准形判别二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+8x23-4x1x3的正定性.

解：由配方法知，

f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+8x23-4x1x3=2（x1-x3）2+5x22+6x23

故作可逆线性变换

x1=y1+y3

x2=y2

x3=y3，

令X=QY，Q=101

010

001.

从而f（x1，x2，x3）=2y21+5y22+6y23，该二次型的标准形显然为正定的，由于可逆线性变换不改变二次型的正定性，所以原二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+8x23-4x1x3也是正定的.

3教学效果及总结

笔者在专科院校师范专业讲授“高等数学”“线性代数”等课程时特别注意运用类比等教学方法引导学生思考，调动学生的积极性，发挥其主体作用.为了准确判断类比教学法应用的教学效果，笔者进行了线上问卷调查（见下表）.

线上问卷调查表

教师通过将二次型的有关问题用学过的线性方程组相关知识作类比，是否能启发你的思路，调动你思考的积极性

教师通过循序渐进的问题串推进教学，是否能促使你积极思考、主动参与课堂互动

教师通过将线性方程组类比应用于二次型有关知识点上，是否能使你更好地理解和记忆二次型的相关知识和方法，学习更高效

通过对88名学生进行问卷调查，其中96%以上的学生表示类比法的问题串教学方式能够让问题更直观和熟悉，能够激发他们主动思考，帮助他们深刻理解不同知识点的区别与联系，节省理解记忆时间，并更加高效地学习，提高对知识的灵活运用和融会贯通能力.问卷调查统计结果如下图.

结语

高等教育，特别是理工科专业的一个重要任务是提高学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.因此，在数学相关课程教学中应特别注意对知识背后的数学思想方法的挖掘和训练，培养学生的抽象思维能力、创新意识和创新能力.本文是笔者教授“线性代数”课程时对一些相关联的知识、方法的思考和教学实践体会，以二次型为例探讨了如何将学生学习过的线性方程组相关知识和方法类比运用到二次型相关内容的教学中.通过类比法的教学方式，能够帮助学生更容易地理解和记忆二次型的相关知识点，提高学习效率，获得良好的学习体验，增强学习数学的信心和对数学的兴趣，提升学生的创新意识和将来在后续课程及工作中更好地应用二次型的能力，进而提高教学的质量和效果.

参考文献：

［1］徐龙玉，胡葵，王丽.“线性代数”教学中的主线法与类比法的综合运用［J］.绵阳师范学院学报，2018，37（2）：2732.

［2］卞小霞，季红蕾.实二次型的教学探究［J］.教育教学论坛，2018（50）：195196.

［3］张莉，周羚君.类比方法在线性代数教学中的应用［J］.大学数学，2014，30（6）：6769.

［4］李子萍，费秀海.类比法在高等数学教学中的应用体会［J］.数学学习与研究，2021（29）：1011.

［5］王馨禹.试论二次型化标准形的方法［J］.数学学习与研究，2022（22）：152154.

［6］北京大学数学系前代数小组.高等代数［M］.4版.北京：高等教育出版社，2013.

［7］张学奇，赵梅春.线性代数［M］.3版.北京：中国人民大学出版社，2021.

基金项目：安徽省高等学校科学研究项目自然科学类重点项目（2023AH052993、KJ2021A1573）

作者简介：刘俊（1988—），男，硕士，助教，从事供应链协调研究。