充分挖掘习题功效 培养学生思维品质

摘 要：良好的思维品质是科学思维要素中关键能力的体现，表现为在解决问题中思维的发散性、深刻性和收敛性等品质。初中阶段是培养学生科学思维的最佳时期，教学中有意识地培养学生的思维品质，既可以活跃学生的思维，也能改变学生的思维方式，最终使学生具备可持续性学习和发展的能力。

关键词：一题多变；一题多解；多题归一；思维品质

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）10-0009-6

收稿日期：2024-03-28

作者简介：周艳（1974-），女，中学高级教师，重庆市初中物理学科名师，主要从事初中物理教学和研究工作。

*通信作者：卿昭才（1966-），男，中学正高级教师，重庆市高中物理学科名师，主要从事高中物理教学和研究工作。

新课标下的初中物理教学，不仅要传授知识，更应该注重思维品质的培养。以学科知识为载体，以归纳、综合、演绎等思维方法为核心，兼顾知识达成和思维训练，才能促进学生核心素养的全面培养［1］。因此，教学中精心设计一些培养思维品质的习题，通过一题多变、一题多解、多题归一等方式对学生进行思维训练，不仅能提升学生灵活运用知识解决问题的能力，还能培养学生的科学推理能力和创新能力。

1 问题来源

初二物理学习完压强、浮力内容之后，习题常设置为绳模型、杆模型和弹簧模型。其中，弹簧模型最为复杂，一直是学生解题的难点［2］。弹簧的长度发生变化的同时，其弹力的方向既可以是拉，也可以是反方向的推。因此，如何找到各个长度和体积之间的关系，是解决这类问题的关键。

原题 水平升降台面上有一个足够深、底面积为40 cm2的柱形容器，容器中水深20 cm，则水对容器底部的压强为 Pa。现将底面积为10 cm2、高为20 cm的圆柱体A用细线悬挂在固定的弹簧测力计下端，使A浸入水中，稳定后，A的下表面距水面4 cm，弹簧测力计的示数为0.8 N，如图1所示。若使升降台上升6 cm，再次稳定后，A受到的浮力为 N。（已知弹簧受到的拉力每减小1 N，弹簧的长度就缩短1 cm）

分析 本题第（1）问求液体压强，根据题目条件易求得p=ρgh=2 000 Pa。第（2）问中升降台上升会导致物体浸入液体的体积变大，液面上升；同时，由于浮力变大，使弹力减小，二者变化量大小相同；由于弹力减小从而使弹簧伸长量减小，所以物体位置会向上移动，即物体上升与升降台上升同时进行。解决这类问题的关键是找到物体浸入深度的变化量和弹簧形变量的变化量，从而解决后续的浮力、压强、压力等问题。明确了解题方向，解题的思路也就水到渠成了。

2  一题多解，培养思维的发散性

用多个物理规律去解决同一物理问题，可以充分调动脑海中储存的大量信息，探求问题的多种解决方案，寻找创造性的解题方法，从而培养思维的发散性。

2.1 解法1：巧建理想状态“杆模型”

根据物体运动的相对性，升降台的上升可等效于物体A的下降，所以针对物体A下降过程进行分析。如图2所示，物体A下表面距水面4 cm为初状态；假设弹簧是硬杆，物体下降h=6 cm，液面升高，此为中间理想状态；由于物体浸入体积变大，使浮力变大、弹力减小，弹簧伸长量减小ΔL，物体随之向上移动ΔL，液面较中间理想态下降一些，此为末状态。

从初状态到末状态，液面上升Δh，因为V1=V2+V3，即S（h-ΔL）=Δh（S-S），故

Δh=S（h-ΔL）/（S-S） （1）

物体浸入深度的变化量

Δh=（h-ΔL）+Δh （2）

因为浮力与弹力的变化量大小相等，ΔF=ΔF，得

ρgSΔh=ΔL×1 N/cm （3）

将数据代入（1）（2）（3）式得

ΔL≈0.7 cm，Δh=7 cm

初状态时，弹簧测力计受到的拉力为0.8 N，弹簧伸长0.8 cm；末状态时，弹簧伸长量将减小0.7 cm，故弹簧最终将伸长0.1 cm，物体仍受到向上的拉力。

物体浸入水中深度h=Δh+4 cm=11 cm

物体受到的浮力F=ρgSh=1.1 N

2.2 解法2：转换物理模型

将升降台上升6 cm，再次稳定，转换成“加水模型”：将容器下部切去，然后将切去的水再倒入容器。如图3甲所示，容器下部切去6 cm，则加入水的体积为：V=6 cm×40 cm2=240 cm3；如图3乙所示，加水后，物体浸入体积变大，浮力变大，弹力减小，从而使弹簧伸长量减小ΔL，则物体向上移动ΔL，此时，物体浸入深度的变化量为Δh。

对比甲、乙两图，有

V=V1+（V2+V3）=SΔL+（S-S）Δh （1）

因为浮力与弹力的变化量大小相等，ΔF=ΔF，即

ρgSΔh=ΔL×1 N/cm （2）

将数据代入（1）（2）式得

ΔL≈0.7 cm，Δh=7 cm

此时，ΔL=0.7 cm<0.8 cm，物体仍受到向上的拉力。

物体浸入水中深度h=11 cm

物体受到的浮力F=ρgSh=1.1 N

2.3 解法3：转换模型与巧建理想模型相结合

将升降台上升6 cm，转换成加水模型：将容器下部切去，再将切去的水倒入容器。如图4所示，切去容器下部为初状态；倒水后假设弹簧是硬杆为中间理想态，倒入的水将在物体两侧升高Δh1；实际情况是弹簧伸长量减小ΔL，物体向上移动ΔL，与中间理想态相比，液面下降Δh2，此为末状态。

由初状态知

V=6 cm×40 cm2=240 cm3

由中间理想态知

Δh1=V/（S-S）=8 cm

从理想态到末状态，液面下降

Δh2=SΔL/（S-S） （1）

从初状态到末状态，物体浸入深度的变化量

Δh=Δh1-Δh2-ΔL （2）

由题意可知，ΔF=ΔF，即

ρgSΔh=ΔL×1 N/cm （3）

将数据代入（1）（2）（3）式得

ΔL≈0.7 cm，Δh=7 cm

由于物体仍受向上的拉力，故所受浮力

F=ρgS（Δh+4 cm）=1.1 N

3 一题多变，培养思维的深刻性

对原题的问题、条件或要求适当地进行变化，通过一题多变，深化对物理概念、物理规律的理解与应用，在深入思考问题的同时，培养思维活动的广度、深度和难度。

3.1 变式1：改变题干条件

若使升降台上升9 cm，再次稳定后，A受到的浮力为 N。（其他条件不变）

解析 可用解法1的思路，列出以下三个方程：

液面上升的高度

Δh=S（h-ΔL）/（S-S） （1）

物体浸入深度的变化量

Δh=（h-ΔL）+Δh （2）

浮力变化引起弹力变化，ΔF=ΔF，即

ρgSΔh=ΔL×1 N/cm （3）

将数据代入（1）（2）（3）式得

ΔL≈1.06 cm

初状态时，弹簧测力计受到的拉力为0.8 N，弹簧伸长0.8 cm；末状态时，弹簧伸长量减小1.06 cm，故弹簧测力计已归零，不再对物体有拉力，即物体处于漂浮状态，F=G。

由初状态得

F=ρgSh=0.4 N，F=0.8 N

所以，G=1.2 N。

所以，末状态时：F=G=1.2 N。

3.2 变式2：用弹簧替代弹簧测力计

将图1中物体A的上方改用一根轻质弹簧吊着，其他条件仍相同。若使升降台上升9 cm，再次稳定后，A受到的浮力为 N。

解析 可用解法1的思路，列出以下三个方程：

液面上升的高度

Δh=S（h-ΔL）/（S-S） （1）

物体浸入深度的变化量

Δh=（h-ΔL）+Δh （2）

浮力变化引起弹力变化，ΔF=ΔF，即

ρgSΔh=ΔL×1 N/cm （3）

将数据代入（1）（2）（3）式得

ΔL≈1.06 cm，Δh=10.6 cm

弹簧既可以被拉长，也可以被压缩。初状态时，弹簧伸长0.8 cm；末状态时，弹簧伸长量减小1.06 cm，故弹簧最终被压缩0.26 cm，物体将受到向下的推力，F=0.26 N。

对A进行受力分析

F=G+F=1.2 N+0.26 N=1.46 N

3.3 变式3：互换问题与条件

若要稳定后使弹簧恰好恢复原长，需使升降台上升 cm。（其他条件不变）

解析 弹簧恰好恢复原长，即物体恰好漂浮，此时

ΔF=ΔF=0.8 N

弹簧伸长量减小ΔL=0.8 cm

物体浸入深度的变化量

Δh=ΔF/ρgS=8 cm

可根据解法1的思路，列出以下两个方程：

液面上升的高度

Δh=S（h-ΔL）/（S-S） （1）

物体浸入深度的变化量

Δh=（h-ΔL）+Δh （2）

将数据代入（1）（2）式得

h=6.8 cm

4 多题归一，培养思维的收敛性

多题归一，就是将题型各异、研究对象不同，但问题实质相同的“型异质同”或“型近质同”的问题进行分析、综合、归纳、演绎，抓住共同的本质特征，找出规律，做到触类旁通、举一反三，最终培养思维的求同性、聚合性或收敛性。

4.1 弹簧模型之加水问题

例1如图5甲所示，在底面积为300 cm2的容器底部固定一轻质弹簧（体积不计），弹簧上端连有一边长为10 cm的正方体物块A。当物块A有一半体积露出水面时，弹簧恰好处于原长状态。现往容器中缓慢加水至A刚好浸没（水未溢出），则水对容器底的压强增加 Pa，所加水的质量为 kg。（弹簧受到的拉力跟弹簧伸长量的关系如图5乙所示）

共性：当弹簧处于原长时加水，液面上升；物体浸入体积变大，使浮力和弹力变大，且二者变化量大小相同；同时，弹力变大又使弹簧变长，导致物体上升。在这一过程中，液面升高（Δh）、弹簧伸长（ΔL）、物体浸入深度增加（Δh），找到这三个长度间的关系，是解决此类问题的关键。通过建立“过程模型”，特别是忽视物体的位置变化而建立中间理想状态——“杆模型”，可以使复杂的动态过程简单化。

解析 步骤一：建立过程模型。

如图6（初状态）所示，弹簧恰好处于原长时，物块A漂浮，G=F=ρgSh=5 N。假设弹簧是根硬杆（理想态），要让物块A浸没，需在物块A两侧加水，物块浸入深度将增加Δh。由于浮力变大，弹簧被拉长了ΔL，故还要加入深为ΔL的水（如图6中末状态灰色部分体积）。

步骤二：找到各个长度间的关系，求液面上升变化量Δh。

从初状态到理想态：Δh=5 cm，当物块A浸没时

F'=ρgSh=10 N，F=F'-G=5 N

从初状态到末状态，弹簧的伸长量

ΔF=5 N，ΔL=5 cm

增加的水的高度

Δh=Δh+ΔL=5 cm+5 cm=10 cm

液体压强的增加量

Δp=ρgΔh=1 000 Pa

步骤三：找体积与长度间的关系，求加水质量。

对比初、末状态，所加水的体积

ΔV=SΔh2+（S-S）Δh1=2 500 cm3

所加水的质量

Δm=ρΔV=2.5 kg

4.2 弹簧模型之溢水杯升降问题

例2 如图7所示，水平地面上放有一个溢水杯，重6 N，底面积为300 cm2，装满水后水深10 cm。一轻质弹簧下端挂着重为15 N、底面积为100 cm2、高为10 cm的实心柱形物体，其下表面刚好接触水面。现将物体缓慢下移6 cm，此时弹簧对物体的拉力为 N，容器对地面的压强为 Pa。（在弹性限度内，弹簧受力每变化1 N，长度变化为1 cm）

共性：拉着物体在装满水的溢水杯中下移，水溢出而使液面始终位于溢水口不变；但物体浸入体积变大，使浮力变大，弹力变小，二者变化量大小相同；同时，弹力变小，弹簧伸长量减小，导致物体上升。其关键仍然是：通过建立中间理想状态“杆模型”找到三个长度间的关系：物体下移长度（h）、弹簧变化长度（ΔL）、物体浸入深度的变化量（Δh）；同时结合ΔF=ΔF联立求解。

解析 步骤一：建立过程模型。

如图8初状态，物体下表面刚接触水面；由于水面位置始终不变，故进行如下假设：如图8理想态，弹簧是根硬杆，物体下移6 cm后水未流出，而是上升到溢水口上方；弹力变小使弹簧伸长量减小ΔL，物体也会上移ΔL，致使水面下降到溢水口处时，多余的水再流出，如图8末状态。

步骤二：找到各个长度间的关系，求物体浸入深度变化量Δh。

对比三个状态，有

Δh=h-ΔL=6-ΔL （1）

浮力变化引起弹力变化，ΔF=ΔF，即

ρgSΔh=ΔL×1 N/cm （2）

将数据代入（1）（2）式得

ΔL=3 cm，Δh=3 cm

因为弹簧受力每变化1 N，长度变化为1 cm，所以ΔF=3 N。

对比初、末状态受力分析得

F=G-ΔF=15 N-3 N=12 N

步骤三：找体积与长度间的关系，求固体压强。

分析末状态，物体浸入水中的深度

h=h-ΔL=3 cm

溢水杯中剩余水的体积

V=Sh-Sh=2 700 cm3

G=ρgV=27 N

根据整体法求容器对地面的压力

F=G+G+G-F=45 N

容器对地面的压强

p=F/ S=1 500 Pa

4.3 弹簧模型之烧杯升降问题

例3 如图9所示，重5 N的薄壁柱形容器（足够深）放在水平硬板MN上，容器底面积为300 cm2，装有15 cm深的水。现将重为5 N、底面积为50 cm2、高为20 cm的圆柱形木块（不吸水）悬挂在固定的弹簧EF下端，使木块下表面恰与水面相平。在弹性限度内，弹簧受力的大小与弹簧长度的变化量成正比关系。将水平硬板缓慢向上移动 cm时，木块下表面刚接触容器底部，此时木块受到的浮力为 N。（木块始终保持竖直方向，弹簧均在弹性限度内）

共性：此模型与溢水杯模型最大的不同在于，溢水杯液面不变，而烧杯的液面会随着物体浸入体积的变大而上升；同时，浮力变大使弹力变小，弹簧伸长量减小而导致物体上移，此过程更为复杂。但解决问题的关键仍是建立中间理想状态“杆模型”找到四个长度间的关系：物体下移长度（h）、液面上升高度（Δh）、弹簧变化长度（ΔL）、物体浸入深度的变化量（Δh）；同时结合ΔF=ΔF联立求解。

解析 步骤一：建立过程模型。

根据运动的相对性，硬板上移可等效为木块下降，故对木块下降过程进行分析。如图10所示，木块下表面恰与水面相平时为初状态，木块下表面刚接触容器底部时为末状态；故中间理想状态假设如下：弹簧是根硬杆，物体下移h后，其下表面移到了容器底的下方，由于弹力变小使弹簧伸长量减小ΔL，物体随之上移ΔL后，恰好使其下表面接触容器底部。

步骤二：找到各个长度间的关系，求物体浸入深度变化量Δh。

对比三个状态得液面上升高度

Δh=S（h-ΔL）/（S-S）=3 cm

对比初、末状态得物体浸入深度变化量

Δh=（h-ΔL）+Δh=18 cm

浮力的增大量与弹力的减小量相等

ΔF=ΔF=ρgSΔh=9 N

弹簧伸长量减小

ΔL=9 cm

物体下降距离

h=Δh+ΔL-Δh=24 cm

步骤三：找体积与长度间的关系，求浮力。

分析末状态，物体排开水的体积V=Sh=900 cm3；浮力F=ρgV=9 N。

5 结 语

弹簧模型问题，难在动态过程复杂，变化量太多，状态图绘制难度大。解决的关键是建立过程模型，特别是通过中间理想状态“杆模型”把多个变化量逐步拆解，从中找到各变化长度间的关系，进而解决浮力、弹力、压力、压强等问题。教学中，采取一题多解、一题多变、多题归一的思维训练，可以帮助学生提炼关键步骤、理清解题思路、掌握通性通法，最终培养学生的创新能力和良好的思维品质。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育物理课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：4-5.

［2］义务教育物理课程标准实验教科书编写组. 物理教学参考书［M］. 上海：上海科学技术出版社，2012：140-149.

（栏目编辑 赵保钢）