从“枯燥”到“灵动”，从“解题”到“探究”

［ 摘 要 ］压轴题的命制需要从知识结构、试题样态、素养考查要求等维度对试题进行反复重构与优化，同时又要对学情做深刻剖析，关注试题的学业水平要求与选拔要求双功能，让压轴题成为有效题，最大限度地发挥试题的导向功能和育人价值.

［ 关键词 ］命题构思；命制过程；命制理念；命题反思

每个地区每一年的九年级压轴题成为学子关注的重点，去年开始浙江省舟山市定海区首先呈现以“圆”为背景的综合题为压轴题，2023年浙江省杭州、宁波、温州等地的中考题大胆尝试让“圆”成为压轴题，笔者有幸参加了一次数学试题命制的全过程，历经反复推演论证、现将压轴题的创作过程与思考和各位同行交流.

命题构思

初中阶段学习的几何图形主要有三角形、四边形、圆，与前两者不同，圆是曲线图形，并且是天然的轴对称图形，试题中图形的呈现既要考查学生的综合能力，更要让学生体验数学之美，基于这样的考量，本次考试压轴题是以圆为背景的几何综合题.与此同时，学业水平检测卷基于《义务教育数学课程标准 （2011年版）》要求，适当渗透《义务教育数学课程标准 （2022 年版）》（以下简称“新课标”）相关理念和导向，命题组对整道试题制定了如下要求：（1） 从知识的维度来说既要有垂径定理、圆周角定理等核心知识，又要在问题解决中融合相似三角形等几何建模重要方法；（2） 试题呈现样式需要打破纯粹几何推理证明的样态，让学生在解题过程中经历一次有意义的数学探究活动；（3） 试题的素材选择不宜剑走偏锋，图形的选择应来自学生亲切、熟悉的教材，引导教师致力教材资源的开发，正确领会教材资源的意图和定位；（4） 问题的解决需要经历从特殊到一般、数形结合等数学思想方法，引导学生体验数学思想方法在问题解决中的价值与意义；（5） 试题的立意应着眼于学生核心素养的考查，因此要基于新课标课程内容中的实例，立足于考查学生几何直观、推理能力、创新意识等核心素养.

命制理念

1.立足基础，考查素养

根据近几年的地市自主命题思路，几何压轴题已然成为趋势，因此图形背景的选择尤为关键，相较于三角形与四边形，圆具有几大优势：第一，圆是一个天然的轴对称图形，无论从图形还是结论上看都呈对称之美，让学生有美的享受；第二，圆是初中阶段学习的唯一曲线几何图形，相较于直线型图形，曲线型图形的难度略大，效仿杭州、UTyKIXLCZWTjt0taaHXggmdzSfnIATBb1Nu/a3Iv0JA=宁波等地的历年中考压轴题，圆已成为主流趋势；第三，从推理方法而言圆中结论的证明需要综合法的应用，需要学生以全局眼光梳理主线，解决问题.因此，命题之初，命题组一致决定梳理圆的知识主线（如图1）.

根据知识梳理，大致确定垂径定理、圆周角定理、圆心角定理以及圆的内接四边形为必要考查内容，同时基于新课标对学业质量的解读，确定了以下几个核心素养考查要求：（1） 能运用几何图形的基本性质进行推理证明；（2） 进一步增强几何直观、空间观念；（3） 能从具体的情境中抽象出数学表达式，用数学的眼光发现问题并提出（或转化为）数学问题；（4） 感悟数学的价值，能够从问题解决的过程中获得数学活动经验，形成批判质疑的科学精神，具备一定的创新意识.

2.梳理教材，确定研究方向

压轴题的命制需要对素材图形进行重构，需要改变图形或增加图形结构进行研究.但笔者在以往的教学中发现有部分几何压轴题图形结构复杂，或者问题不集中，甚至整道试题毫无逻辑可言，这一类问题的产生往往是对教材知识体系尚未形成整体认识所导致的，从而在命制压轴题的过程中缺乏研究问题的方向.在教学中，单元整体教学以知识的相互关联性、整体性与学习者的参与性为原则，倡导情境式的、案例式的内在驱动教学方式.基于教学评一致性原则，教学的理念也应该在命题时有所体现，因此，命题组决定回顾教材，从单元整体角度挖 掘 教 材 的 内 部 知 识 体 系（如图2）.

通过梳理发现，浙教版圆的章节内容编排具有一定的逻辑性，垂径定理、圆心角定理可视为研究圆上两点，圆周角定理可视为研究圆上三点，圆的内接四边形可视为研究圆上四点，正多边形可视为研究圆上N个点，最后的切线可视为研究圆外的点.按照教材编排的逻辑体系，命题组确定研究内容的核心为先研究圆上的点，再研究圆外的点，通过连线的形式重构新的几何图形并展开探究，最终命题组通过梳理教材的内容，确定了命题中图形的研究方向.

3.建构方法，环环紧扣

压轴题试题的重要价值是引导教学，基于教学评一致性的原则，试题的呈现样态会决定教师在课堂中的行为方式，其中压轴题的样态更是对教学有举足轻重的影响 . 因此，命题组在设计之初就积极思考试题的呈现样态.命题组认为，解题本身就是一个探究的过程，在解题过程中学生经历观察、归纳、类比、联想、演绎等思考方式，通过探究学习可使学生获得知识的深层理解，培养科学的态度和习惯，形成实事求是、精益求精、客观公正、敢于创新的精神.因此，命题组商议以数学探究活动作为问题解决的主线，建构合理的问题探究路径，设置有梯度的问题，环环紧扣，让学生在解题中体验一次有深度的学习过程.

试题原型

基于对命题思路、命题理念的把握，压轴题确定以圆为背景的几何题后，素材的选择成为当务之急，而教材是教师教和学生学的重要载体，对教学起着积极的导向作用，因此确定浙教版数学教材九上 114页单元“目标与评定”第15题为原始素材.

此题是一个简单的圆的综合题，但简约而不简单，看似普通的证明却包括了圆的垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形定理等综合知识，完全能够做到知识全覆盖 . 因此，命题组决定将其确定为原始图形，后续的试题编排围绕此图形展开.

命制历程

试题分为三个小题，力争做到低起点、高立意，问题设置做到层层递进，最后的问题解决既依托前两个小题的结论，又有分类讨论思想渗透在问题解决过程中，考查圆的基本性质及相似三角形等相关内容.

【终稿分析】 针对第三稿中存在的问题，通过连线构造新的三角形的方式考查分类讨论思想在综合题中的运用，知识点无缝衔接前一问函数表达式的获得，连接自然顺畅.为了增加试题难度，寻找△CAG与△BFG这组新的相似三角形来获得新的数量关系求解 BG.整道试题以教材为背景，以探究式学习为问题解决的主线，环环紧扣，呼应命题之初的命题构思与理念.纵观整道试题，有以下几个亮点与各位同仁分享：

（1）根植教材，正面导向教学

通过对浙教版数学教材九上的挖掘，引导学生进行变式、探究与思考，引导教师致力于教材资源价值的开发，正确领会教材资源的意图和定位.植根教材，促进教学评一致性，也促进“双减”政策在课堂教学和日常学习中的有效落地.

（2）标立意，关注核心素养

通过设置探究式问题情境，让学生体验从计算—猜想—验证—应用的过程，在解题中沉浸式体验问题解决的一般步骤，丰富学生情感体验.同时通过对新课标的深入解读，理解动点问题的实质为研究几何问题中变量之间的关系，从而引入用函数刻画现实问题的依据，这样拓展应用的第2问的设置顺理成章.最后一问的设置融合初中阶段重要的分类讨论思想，既实现试题的分层选拔功能，又实现数学思想在问题解决中的重要意义.也正是因为这些试题从“枯燥”到“灵动”，从“解题”到“探究”，让学生感受数学之美.

（3）立足基础，考查关键能力

试题立足数学基本知识、基本技能、核心概念考查时，重视对过程与思维、关键能力和数学思想方法的考查.圆的核心知识为垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、圆的内接四边形，这些知识都在试题中一一体现，并且又规避了浙教版老教材中切割线定理的使用，在立足于考查基础性关键能力的同时又实现了试题的公平性.试题的立意希望引导教师在教学中强化对基本概念、基本性质和定理的理解，发展学生的基本运算、推理等关键能力，丰富学生学习经验，促进核心素养形成.

（4）建模应用，指向综合能力

试题通过设置拓展应用第 2 问重视运用数学必备知识、思想方法及数学模型解决实际问题，发挥数学联系实际的学科特点，考查了学生对现实问题的分析和解决、信息的获取与处理、数学建模等综合能力，让学生体验现实中的数学和用数学知识分析解决实际问题的过程，学会用函数刻画现实世界，发展模型观念，引导学生学以致用.

命题反思

1.保持教学评价一致性

新课标明确指出：“学业质量是学生在完成课程阶段性学习后的学业成就表现，反映核心素养要求.”“数学课程学业质量标准是学业水平考试命题及评价的依据，同时对学生的学习活动、教师的教学活动、教材的编写等具有重要的指导作用.”因此试题在命制中应充分考虑评价的重要意义，舍弃以知识内容为主线的考查方式，引导学生放弃数学解题的机械性和模式化，从而在命题理念中确定以问题探究式学习为试题主线，让学生经历数学的学习运用、实践探索活动的经验积累，初步形成自我反思的意识，既考查考生的知识，又考查他们的能力，引导考生的思维向综合、立体、创造性的方向发展.通过这样的设置把教材赋予的立德树人的教育价值在试题中一一体现与落实，既实现试题从“枯燥”到“灵动” ，从“解题”到“探究”的转变，又能保持教学与评价的高度一致性，引导教学评价高效、一致、有序发展.

2.把握研究过程整体性

学生体验学业水平试题的过程既是对三年学习历程的一次检验，同时也是初中三年最重要的一次体验深度学习的过程.因此试题允许出现超越具体知识和技能，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略.试题中对图形结构的补全、扩充应具有逻辑性，需从单元整体建构图形，引导学生注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，使学生感受数学的整体性，体会某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同层次进行理解.因此本试题依据研究圆的逻辑规律，指向核心为研究圆上与圆外的点，实现从内到外的整体架构，让学生比较完整地经历问题研究的框架，积累丰富的研究经验，从而在系统全局的高度认识知识之间的关联性，对于研究过程的整体性把握有助于学生在今后高中学习阶段实现从局部到整体的飞跃.

3.凸显素养指向重要性

试题编制时既应关注课标的考试要求，以及对不同发展水平学生的区分，又注重从知识立意转向素养立意的转变.新课标指出：“几何直观主要是指运用图形描述和分析问题的意识与习惯.”“几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径 .” 因此本试题在数易其稿中问题的设置都高度指向这一原则，无论是分类讨论线段的求值，还是利用推理画图的过程，甚至动点问题中感知变量关系，从而获得函数表达式的过程都是基于对几何直观的考查 . 当然在系列问题中推理能力、创新意识等核心素养都通过不同的设问方式予以呈现，在考查过程中不仅是一次枯燥的解题过程，更是学生的各项数学素养的重要体现.在试题中让学生经历一个完整的从“枯燥”到“灵动”，从“解题”到“探究”的学习过程是我们命题者所追求的目标，也是我们期待通过学业水平试题选拔 “会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”的数学人才的重要途径，真正实现试题在立德树人中的育人价值与导向.