对一道中考数学试题的深度解析与教学反思

［ 摘 要 ］基于对一道中考数学试题的深度解析、教学实施与教学反思，揭示了试题背后蕴含的评价功能与教学价值，揭示了隐藏在试题中的若干重要结论以及解题方法中体现的思维过程.为培养学生的“四基”与“四能”和数学核心素养提供了解题教学的蓝本．

［ 关键词 ］中考数学试题；深入探究；解答过程

近期研究中考试题，对2021年福建省中考数学试卷中的几何综合题进行了深入探究，发现这道题不仅全面考查了初三学生的几何基础知识和基本方法，还对考生的逻辑推理素养、运算素养也有深刻考查．笔者基于对该题的深度解析，揭示其蕴含的丰富几何内容和数学思想方法，一并与同行分享交流

分析：第三问欲求两条线段之间的数量关系，关键是学生要能够发现两条线段所在三角形的相似关系，上面提供的解法是利用两边成比例且夹角相等进行证明，还可以利用两角相等证明相似，解法不唯一.在相似的条件下，很容易得出要求的结论.

对试题的深度剖析

1.考查视角分析

第一问着重考查三角形中位线定理，题目巧妙地将两边中点隐藏在“三等分点”与“轴对称”两个条件中，需要学生深入理解轴对称和三等分点所带来的结论，并将两个条件联系应用，才能构造出三角形的中位线.

第二问是一个求角度问题，本题的图形结构中，很容易看出△ADE△BAG，从而得到GB=BF，从而得到△BFG是等腰直角三角形，但是这个结论对计算∠GA'B有什么用呢？实际上本题需结合第一问证得的结论发现四点共圆，将问题中所求的角转化为与其相等的另一个圆周角，再解答.这个问题考查了学生对四点共圆这一知识是否能灵活应用，对几何图形的“读图”理解要求较高，充分考查了学生从文字语言理解数学到从图形语言能够准确分析再到用符号语言能够清晰表达的三种数学语言的灵活转换能力.

第三问要求两个线段的数量关系，如何得到这个关系是重点.本题中，学生既可以利用得到的45°构造直角三角形，通过计算两条线段的长度来求得他们的数量关系，还可以发现两条线段所在的三角形相似，进而利用相似求得数量关系，而相似的证明方法也不唯一，其中不仅考查了勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，而且体现了方程思想在几何证明与计算中的应用.解题方法灵活多样，充分考查了学生分析问题和解决问题的能力.

2.教学价值分析

从“双减”政策对课堂教学的要求看，“双减”背景下怎样才能实现减负增效？那就要“把时间还给学生，把方法教给学生”. 从新课标对数学学习的内容看，初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题 . 学生将从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.”［2］

这个题目考查了初中几何的主体知识，考查内容较丰富，由于方法多样，可以让学生独立解题后分小组交流做法，再请学生分享不同的做法以及自己是如何想到这种方法的 . 在学生分享后，教师再和学生一起总结解题方法和其中体现的数学思想，让学生将理解的知识、解题的经验、感悟到的数学思想内化，形成具有逻辑的知识体系，这是学生“听得懂—学得会—做得对”的必经之路.

从学生解题能力培养的视角看，第一，本题通过正方形这一特殊背景，为构造新图形提供了便利 . 学生能否在读题时将题目中的每句话对应到图形中，理解为图形中线段或角或三角形之间的关系，这是教师在授课过程中需要关注的一个很重要的问题 . 从题目本身蕴含的数学知识来看，本题解题的关键在于对点对称的理解，对图形中蕴含的四点共圆的四边形的识别，对全等三角形和相似三角形的发现，而对称意味着图形中既包含相等的数量关系也包含垂直的位置关系 . 正方形中的“对称”往往可以推出更深层次的图形关系 . 本题通过四边形中对角都是直角，存在“隐圆”，使题目的解法更加灵活 .因此，启发学生对正方形背景下隐藏的图形关系的挖掘，是本题提供给教师用来培养学生有逻辑思考的很好载体，对培养学生的数学阅读能力很有价值.

教学实施过程与反思

1.学习活动设计

基于本题的深度分析，笔者设计了一节解题专题课，具体教学实施过程包含三个活动：

活动一 求证：DE∥A'F

（1） 复习三角形中一条边上二等分点的性质，让学生根据二等分点的性质推理猜测三等分点的性质.

（2） 认真读题，理解题意，寻找隐藏条件 .例如，根据 A 关于 DE的对称点是A'，故可得AO = A'O.

（3） 如图 3，依据所给条件，结合图形结构，找到中位线，证明平行.

不论应用哪种方法构造点 A'，都可以构造一道与正方形相关且具有一定水平的几何题.从数学教育的价值来看，它可以巩固直线型的几何定理，也可以巩固圆的几何定理，最重要的是巩固直线型与圆综合的几何基础知识和方法，形成具有结构和逻辑联系的知识体系，可以提高学生的逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养，是不可多得的基本图形结构.

综上所述，教师要始终站在学生学习的起点思考问题，从直接计算到中位线、平行线来构造辅助线，始终贯穿模型思想，从基础模型 （十字架、中位线、平行线） 到综合模型 （一线三等角、等边旋转变换），再到应用模型 （四点共圆、平行线和平行线分线段成比例等）.模型由简到繁，从无到有再到无，解题方法由变化归于不变，在图形变化过程中找到变的量和不变的量或结论，探究其中的数量关系，从而找到解决一类问题的通用方法.

参考文献

［1］徐玉清.中考真题汇编 ［M］.新疆：新疆青少年出版社，2021.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.