浅谈“设而不求”技巧在初中数学解题中的应用

摘 要：在常规数学解题中，教师都是按照“先设后求”的方式引导学生完成问题的解答.在面对复杂的数学问题时，固定的数学思维常常导致学生进入困境.鉴于此，教师在优化解题教学时，必须灵活运用“设而不求”的方法，引导学生积极搭建条件和所求问题的桥梁，开拓学生数学解题新思路、新方向，最终提升学生的数学解题能力.

关键词：“设而不求”；初中数学；解题教学；思维能力

数学作为初中阶段一门基础类必修学科，素有“思维体操”的美称，具有抽象性、逻辑性等特性，承担着培养学生思维能力的重任.鉴于数学学科的特点，以及初中数学学科素养下的要求，培养和发展学生的数学解题能力，是当前课堂教学的重中之重.在调查中发现，目前教师基本上都是遵循“先设后求”的方式引导学生围绕问题进行分析和解答.一旦数学问题难度变大，这种固定的解题思维和模式就变得“无能为力”.面对这一现状，教师要想帮助学生顺利解答问题，唯有彻底转变这种固定的解题思维和模式，适当融入“设而不求”的思想，使得学生在“设而不求”中找到新的解题方向.本文以此切入，结合大量的例题，针对“设而不求”在初中数学解题中的运用技巧进行了详细的探究，为教师提供参考.

1 “设而不求”的意义 “设而不求”是一种非常重要的数学解题技巧，教师将其应用到数学解题中，可达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果，帮助学生从新的视角切入问题，形成新的解题思路，高效完成数学题目的解答.具体来说，“设而不求”就是根据题目条件，在不求解的前提下，假设某个对象存在，并将其设置为未知数，用符号表示出来.学生以此作为过渡，获得一种全新的问题解答方法.在初中数学解题中，“设而不求”作为一种全新的解题思路，可促使复杂问题简单化，使得学生在“设”的过渡中，顺利找到新的解题思路.

在“设而不求”解题中，首先，这种被“设”的对象可以是题目中的已知条件，也可以是经过推理得出的结论，或者是假设的存在；其次，针对“为什么‘设’”这一问题，从根本上来说是为了解决某一个问题，学生在数学求解，或者数学证明的过程中，需要用到某一个量，就可以将其“设”出来，以此作为过渡，进行后续的推导求解.［1］

2 “设而不求”在初中数学解题中的具体应用

2.1 利用“设而不求”比较分数大小

在初中数学学习中，分数是一个重要的知识点，在关于分数大小对比中，学生常常会遇到一些复杂的分数问题.此时，如果按照传统的思维进行解答，学生需要先进行通分，这些复杂的分数通分需要经过大量的运算，不仅浪费了学生的解题时间，还会出现计算性的错误.鉴于此，教师在指导学生进行解题时，就可充分借助“设而不求”的数学思想，寻找一种新的、简便的计算方法.

例题 比较368972764797、368975764804的大小.

解析：从题目类型上来说，本题目就是单纯的分数比大小，解题思路非常明确.但是在具体解答时，如果按照常规的思路进行解答，学生需要先进行通分，但是对这两个分数来说，计算过程十分复杂.此时，通过观察分析得知，由于两个分数的分子、分母都比较接近，即可借助“设而不求”的思想，将其中一个分数设为ba，从而可将另一个分数化为b+常量a+常量，如此，即可在两个分数之间建立联系，以便进行对比.在本题目中，就可将368972764797设为ba，则368975764804可转化为b+3a+7.如此，学生只要计算ba-b+3a+7即可得出结果.经计算得ba-b+3a+7=7b-3aa（a+7）.又7b-3a＞0，可得ba-b+3a+7＞0，即368972764797＞368975764804.可见，在这一复杂的分数比大小中，通过“设而不求”方法的运用，将其转化成为一个特殊的问题，不仅减少了学生的计算量，也提高了学生的解题准确率，并使学生在解题中提升数学思维能力.［2］

2.2 利用“设而不求”解决方程问题

方程是初中数学中最为重要的知识点，也是中考的热点.在初中阶段，学生遇到的方程问题一般比较简单，但偶尔也会遇到一些特殊的问题，尤其是一些分式方程、一元二次方程相关问题，部分题目难度系数比较高，学生用传统的解题思路和模式不能解决问题.面对这一现状，教师即可引导学生借助“设而不求”的数学思想，将复杂的方程问题进行简化，降低问题的求解难度.

例1 解分式方程x-45+x+54=5x-4+4x+5.

解析：在这一道分式方程的求解中，如果按照常规的思路进行解题，学生需要在对方程进行去分母、去括号、移项、合并、简化系数等操作后求解.这需要学生进行大量的计算，不仅浪费了时间，也对学生的计算能力提出了更高的要求，稍有不慎就会出现错误.鉴于此，教师在优化方程解题教学时，可对其进行观察、分析，鉴于x-45和5x-4、x+54和4x+5互为倒数，即可融入“设而不求”的数学思想.假设x-45=m，x+54=n，则原来复杂的分式方程可转化为m+n=1m+1n.围绕这一方程去分母，得出m2n+mn2=n+m，对其进行移项合并，最终得出（m+n）（mn-1）=0.由此，得出m+n=0或者mn-1=0.最终得出x-45+x+54=0，或者x-45·x+54=1.如此，即可将原本复杂的分式方程转化为两个简单的方程，降低了学生的解题难度.

例2 若一元二次方程x2-11x+（30+k）=0存在两个根，且均大于5，求实数k的取值范围.

解析：这一道题涉及一元二次方程的知识.同样，学生如果按照常规的思路进行求解，就会出现碰壁的现象.因此，教师可引导学生融入“设而不求”的数学思想，设x2-11x+（30+k）=y，将一元二次方程转化为函数问题.由于该方程存在两个根且均大于5.所以结合二次函数的性质得出，当x=5时，对应的点在x轴的上方，即y＞0.因此，52-55+（30+k）＞0，解不等式，可得出k＞0.又方程有两个根，所以Δ=112-4（30+k）≥0，解得k≤14，所以0<k≤14.由此可见，在一些比较复杂的方程问题中，当常规解题思维受限时，教师即可引导学生寻找已知条件和所求结论的关系，借助“设而不求”的数学思想，对其进行化简、转化等，以便于快速解答这一问题.

2.3 利用“设而不求”解决几何问题

在初中数学学习中，几何问题占据极大篇幅，是历年中考的热点.但是在一些比较复杂的几何证明题中，学生仅仅依靠题目中所给的点、线、面之间的关系，很难形成明确的证明思路，甚至证明过程异常繁琐.针对这类几何问题，教师在引导学生解答时，即可运用“设而不求”的方法.

例1 假如在一条直线上依次存在四个点，分别为A、B、C、D（如图1）.请对A、B、C、D四点之间的关系进行证明，即证明AD·BC+AB·CD=AC·BD.

解析：在这一几何题目已知条件中，并未说明A、B、C、D四个点之间的关系，也没有明确指出线段和线段的关系.在这种情况下，学生如果按照常规的思维就会无从下手，无法进行证明.因此，教师在引导学生证明该题目时，即可融入“设而不求”的思想，将这一几何问题进行转化，使其成为代数问题.假设AB=a，BC=b，CD=c.据此，即可将线段图中点与点之间的关系进行转化，即AD=a+b+c，AC=a+b，BD=b+c.即可将所要证明的关系式转化为AD·BC+AB·CD=（a+b+c）b+a·c=ab+b2+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）.又因为AC·BD=（a+b）·（b+c）=ab+ac+b2+bc=b·（a+b）+c（a+b）.

因此，AD·BC+AB·CD=AC·BD.

在这一几何证明题中，由于在题目中并未给出相关的条件，学生按照常规的思路很难完成其证明，运用“设而不求”的数学思想，将其进行转化，问题就迎刃而解.

例2 如图2所示，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，随着∠B的变化，∠DAE的度数会变化吗？请说明理由.

解析：这一题目考查的是“三角形中边的等量关系到角的等量关系转化”.在题目中，∠B发生变化，∠DAC、∠CAE度数也在发生变化.在这种情况下，要想求出∠DAE的度数就相对比较困难.鉴于此，就可融入“设而不求”的思想，设∠B=x，∠ACB=y.

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=12（180°-∠B）=90°-12x.

∵CE=CA，

∴∠CAE=12∠ACB=12y，∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-（90°-12x）=12x.

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12x+12y=12（x+y）=12×90°=45°.

在这一题目的解答中，学生根据题目中已有的条件，很难做出正确的判断，难以形成明确的解题思路.此时，唯有借助“设而不求”的思想，引入参数，将图中所需角用符号表示出来，即可借助条件中所给的数量关系进行求解.

2.4 利用“设而不求”解决函数问题

在初中数学学习中，函数问题是重中之重，其不仅是考试的热点，还是考查的重点，常常占据很大的比例.就初中阶段而言，学生所接触到的函数知识主要包括一次函数、二次函数、反比例函数等.同时，在一些综合性的问题中，函数问题常常与几何等知识联系起来，题目极具综合性，这也在很大程度上增加了学生的学习难度.学生面对这些已知条件比较少的函数问题，即可运用“设而不求”的思想进行解答.

例题 如图3所示，点A为函数y=9x（x＞0）图象上的一点，连接OA，与函数y=1x（x＞0）的图象相交于点B.点C是x轴上的一点，且AO=AC，则△ABC的面积是多少？

解析：在这一问题中，已知条件非常少，仅仅只有两个反比例函数的解析式，学生根据题目中已有的条件，无法求出A、B、C三点的坐标.在这种情况下，如果按照常规的思维进行解题，就会导致学生陷入困境.此时，学生如果借助“设而不求”的数学思想，将点A、B的坐标用a、b两个参数表示出来，还可通过点C的坐标，将a、b之间的关系表示出来，最终转化为三角形的底和高，完成面积的求解.即设点A的坐标为a，9a，点B的坐标为b，1b.∵点C位于x轴上，且AO=AC，∴点C坐标为（2a，0），即OC=2a.

设过点O（0，0）、Aa，9a直线的解析式为y=kx，则ka=9a，解方程，得k=9a2.

又点Bb，1b在y=9a2x上，则9a2×b=1b，解方程，得b=a3或b=-a3（舍去）.

∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=2a×9a×12-2a×3a×12=6.

这一道题难度系数比较高，题目将反比例函数和三角形问题整合到一起，给出的条件则又非常少，传统的解题思路受限.面对这一现状，教师即可引导学生借助“设而不求”的数学思想，设坐标，但又不求坐标，利用其数量关系，将三角形的面积顺利地求出来.

2.5 利用“设而不求”解决实际问题

实际问题具有极强的综合性，常常集多个数学知识点于一体，并与学生的实际生活紧密相连，这就在很大程度上增加了问题的难度.在解答这一类型数学问题时，学生如果传统解题思路受限，即可运用“设而不求”的数学思想，开辟问题解答的新思路.

例题 有A、B、C三种货物，已知购买A货物3件，B货物7件，C货物1件一共需要花费415元.如果买A货物4件，B货物10件，C货物1件一共需要花费520元.则买A、B、C货物各1件一共需要花费多少元？

解析：这一道实际应用问题涉及“三元一次方程”中的知识点，根据题目中已知条件，学生如果要分别求出A、B、C货物各1件时的费用，存在很大的困难.此时，学生即可借助“设而不求”的方法，将A、B、C货物的单价分别设为x、y、z元，结合题目中已知条件可列出一个方程组，即3x+7y+z=415，

4x+10y+z=520.结合所学的知识，将该方程组进行变形，使其成为2（x+3y）+（x+y+z）=415，

3（x+3y）+（x+y+z）=520.如此，即可通过解方程得出答案.

这一题目难度系数比较低，学生在解答的时候，只需要将各个货物的单价设出来，无需进行求解，并将x+y+z作为整体，求出x+y+z的值即可完成本题目的解答.

3 结语

面对复杂、综合性的数学问题，学生在解题的时候，难免会陷入困境，致使解题思路频频受限.面对这一现状，教师唯有转变传统的解题教学观念，引导学生借助“设而不求”的数学思想，将原本复杂的数学问题进行转化，进而为学生营造一个全新的解题视角，以便开拓学生的解题思路，真正提升学生的数学解题能力.

参考文献

［1］李斌.设而不求解题技巧在初中数学解题中的应用［J］.数理天地（初中版），2022（17）：69-71.

［2］张琳.“设而不求”巧解初中数学竞赛题［J］.初中数学教与学，2022（9）：45-46.

［3］胡敬婷.例谈“设而不求”技巧在初中数学解题中的应用［J］.新课程导学，2022（9）：60-62.

［4］丁鹏儒.“设而不求”解题技巧在初中数学解题中的应用［J］.数学大世界（上旬），2021（6）：79.

［5］曹志芳.“设而不求”解题技巧在初中数学解题中的应用策略探究［J］.考试周刊，2020（97）：63-64.

［6］丁荣军.“设而不求”在初中数学解题中的运用探析［J］.理科考试研究，2016（22）：48.