巧用“数”突破新定义问题中“形”的困境

摘 要：近年来，新定义问题成为各地初中生考试的热点问题.新定义问题不仅能培养学生发现与提出问题的能力，还能通过“数”与“形”之间的灵活转换，培养学生的几何直观素养.

关键词：新定义问题；几何直观；数形结合

“注重培养学生的几何直观”是新课改以来数学教育的热点话题之一.《义务教育数学课程标准（2022年版）》多次针对“几何直观”提出明确要求.［1］几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一.培养和发展学生的几何直观，是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一.培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，不仅仅是“图形与几何”领域的任务.有效的培养工作必须落实在课程内容和课堂教学细节之中.

新定义问题是指在问题中给出初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号的定义，要求学生读懂题意并结合已学知识进行理解，然后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.近几年新定义题目增添了不少需要借助数形结合思想来解决的类型.本文以两道新定义问题为例，说明在课堂教学中如何巧用“数”突破新定义问题中“形”的困境.

1 考题教学策略分析

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点P和直线l1，l2，点P关于直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则称d1+d2为点P关于直线l1，l2的“和距离”，记作d.特别地，当点P在直线l1上时，d1=0；当点P在直线l2上时，d2=0.已知点A（0，3），以A为圆心的圆的半径为1，点P是以A为圆心的圆上的动点，直接写出点P关于x轴和直线y=3x+6的“和距离 ”d的取值范围.

在教学时，教师给学生充足的读题、画图和思考的时间.

学生在解题时，出现困境.通过多次画图和度量，大致确定出“和距离 ”d 分别取最小值和最大值时的位置（如图1、图2），但是无法计算出d.

教师引导学生借助“数”突破“形”的困境.

如图3所示，过点P作y轴的平行线，交直线y=3x+6于点G.

函数y=3x+6的图象是一条与x轴正方向夹角为60°的直线.

用“数”表示“形”.

设点P（x，y），则G（x，3x+6）.

PG=3x+6-y，PB=3x+6-y2，d=PB+PC=3x+6-y2+y.

所以3x+y+6=2d，即y=-3x+2d-6.

用“形”表示“数”.

因为点P（x，y）在以A为圆心的圆上，所以直线y=-3x+2d-6与圆有交点（如图4、图5）.

过点A作AF⊥直线y=-3x+2d-6于点F.

E1（0，2d-6），E2（0，2d-6），AE1=2AF，AE2=2AF.

如图6所示，AE1=3-（2d-6）=9-2d，AF=1.

所以9-2d=2×1，解得d=72.

如图7所示，AE2=2d-6-3=2d-9，AF=1.

所以2d-9=2×1，解得d=112.

综上72≤d≤112.

例2 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x 轴上的点P，给出如下定义：将线段AB绕点P旋转180°，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P为中心的“关联线段”.

已知点E（m，1），若直线y=x+2m 上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围.

在教学时，教师给学生充足的读题、画图和思考的时间.

学生在解题时，出现困境.通过审题，得出点E′（0，1），通过多次画图和度量发现难以确定满足条件的临界图形.

教师引导学生借助“数”突破“形”的困境.

E（m，1），因为点P在 x轴上，所以点E′在y轴上.又E′在⊙O上，所以E′（0，1），得P（m2，0）.

设F（x，-x+2m），则点F关于点P（m2，0）的中心对称点F′（m-x，x-2m）.

因为x-2m=-（m-x）-m，所以点F′的轨迹在直线y=-x-m上.

又点F′在⊙O上，所以直线y=-x-m与⊙O有交点（如图8、图9）.

过点O作OH⊥直线y=-x-m于点H.

E（0，-m），O（0，0），OG=2OH.

如图10所示，OG=0-（-m）=m，OH=1.

所以m=2.

如图11所示，OG=-m-0=-m，OH=1.

所以-m=2，m=-2.

综上，-2≤m≤2.

2 教学策略反思

2.1 代数推理在解决“形”的问题中起着至关重要的作用

新定义问题借助“数”突破“形”的困境，使数形结合更顺畅，更有利于初中生几何直观的培养.学生在解决这两道典型例题“形”的问题中均遇到了困境，教师引导他们通过形转化为数，进行代数推理，将数转化为一个新的函数关系式，再将“数”转化为新的“形”，从而突破了原先仅用“形”难以解决的困境.培养学生的几何直观素养，不能只依赖“形”知识的培养，教师需要有意识地借助“数”的工具来助力几何直观素养的培养.

2.2 新的“形”实现了困境的突破

两道例题最终得以突破，是通过新的“形”实现的.在问题解决的过程中，学生不断地进行形与数的灵活转换.数学中，“数”和“形”是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”［2］教师需要有意识地引导学生主动建立数与形之间的联系，实现二者的自由转换.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］华罗庚.华罗庚科普著作选集［M］.上海：上海教育出版社，1984.