基于“四能”视角的开放式问题设计与思考

摘 要：开放式问题通过条件开放、解题策略开放和结论开放实现对学生发散性思维、探究性思维以及独立性思维的训练.本文以核心素养为导向，以“两点的联想”为情境主线，探讨如何设计开放式问题落实新课标提出的“四能”发展，聚焦学生思维品质和关键能力的培养，实现复习课从技能训练到素养发展的转变.

关键词：开放式问题；数学“四能”；核心素养

1 问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程理念中指出：“发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称‘四能’）.”［1］“四能”是提升学生核心素养，落实立德树人根本任务的关键能力，也是学生终身发展的必备能力.在当前课堂教学中，教师更关注提升学生分析与解决问题的能力，对学生发现和提出问题能力的培养尚显不足.

开放式问题通过条件开放、解题策略开放和结论开放等特性，凸显在培养学生思维品质和关键能力上的优势.因此，基于“四能”视角的开放式问题设计能够推进课堂教学从发展“双能”走向“四能”，从而实现教学效能和育人目标的全面升级.［2］本文以苏科版《义务教育教科书数学八年级上册》中“一次函数”复习课为例，谈谈自己的做法与思考.

2 教学过程

2.1 浅度开放，自主提问

师：已知两点A，B，能确定什么？

生：直线.

追问1：如图1所示，在平面直角坐标系中，A1，203，B4，83，试确定直线AB的函数表达式.

学生动手求解并总结待定系数法，接着教师给出图象上的点C（a，y1），D（a-2，y2），让学生比较y1和y2的大小关系.教师借此带领学生回顾k，b的几何意义，即k决定方向，b决定直线与y轴交点位置.

追问2：观察图象，还能得到什么信息？

学生陆续说出函数与坐标轴的交点坐标、直角三角形的斜边、直角三角形面积和斜边上的高以及△ABO的面积.

师：如何求△ABO的面积？

学生回答“大减小”，教师引导学生回顾网格中求三角形面积的常规方法，即“框”的方法，用矩形面积减三角形面积（如图2）.

追问3：观察一次函数y＝-43x＋8的图象，还能得到什么信息？

学生独立思考后提出，可以得到当y＞0，y＝0或y＜0时对应x的取值范围，从而将一次函数与一元一次方程和一元一次不等式结合起来.

【设计意图】课堂设计回归知识的原点，从“两点的联想”出发构建思维训练活动.教师通过设计低起点的开放情境，引导学生进行思维发散，鼓励学生大胆提出问题.经过这些环节，学生既回顾了一次函数的表达式和k，b的几何意义，又梳理了求三角形面积的常规方法，实现了知识和思维的自主建构（如图3）.这种从问题本身的开放而获得新问题的处理方式充分引导学生积极思考，初步培养学生发现问题和提出问题的能力.

2.2 中度开放，探究方法

问题1 如图4所示，已知直线y＝34x+b，提出一个直线与线段AB有关的问题.

学生思考交流后提出可以确定参数b的取值范围.教师请学生用教具到黑板上演示（如图5），学生将函数y＝34x沿y轴方向平移，得到函数过B点时b值最小，过A点时b值最大.

【设计意图】教师通过增加一条直线设置开放式问题，引导学生回顾一次函数和正比例函数的一般与特殊的关系，加深学生对一次函数表达式中b的几何意义的理解，体会数形结合的思想，培养学生分析问题和解决问题的能力.

问题2 从旋转的角度提出一个与线段AB有关的问题.

学生回忆平时做过的相关题型，提出将线段AB绕端点旋转90°后，求对应点的坐标.教师顺势提问学生求线段AB绕点A逆时针旋转90°后得到点B的对应点B′的坐标.学生根据已有的解题经验，容易想到构造K型图解决（如图6）.学生在动手构图和计算的过程中，感悟点坐标和线段长度的相互转化.

【设计意图】教师通过运动的变化设置开放式问题，从平移到旋转，引导学生回顾基本构图方法，为变式研究提供基本活动经验，提升学生解决问题的能力.

变式 若将直线AB绕点A逆时针旋转45°，求旋转后直线的函数表达式.

学生动手操作，教师巡视发现大部分学生受问题2解题思路的影响选择连接BB′，试着求B点的对应点B′的坐标（如图7），但是在构造K型图求解时不知如何构图，思维受到了限制.

教师适时点拨学生从特殊角45°入手，学生意识到需要构造等腰直角三角形.在构造等腰直角三角形时，教师引导学生分别构造∠B和∠C为直角，并加以对比两种K型图的构造，感悟不同的构造可以简化计算（如图8），逐步积累活动经验.

教师总结：定直线绕定点旋转45°，可以通过构造等腰直角三角形求旋转后直线函数的表达式.

【设计意图】变式的设计引导学生不要把思想方法只聚焦在“线段旋转90°”上，而是要将思路和眼界放得更宽，即“定直线绕定点旋转45°”也可以确定表达式.学生在动手操作中进一步积累活动经验，体会数形结合思想，培养发散性思维，提高分析和解决问题的能力，提升数学运算、数学建模素养.

2.3 深度开放，发展能力

问题3 若P是y轴上动点，提出一个与△ABP有关的问题.

学生根据本单元已有的解题经验，提出等腰三角形存在性问题.学生熟知解题时要用“两圆一线”来分类讨论.教师给学生充足的动手操作时间，鼓励学生小组讨论，巡视中发现学生很容易完成了作图（如图9、图10、图11），但是在求解过程中学生对点坐标和线段长度的灵活转化不够熟练.教师板书引导学生进行点坐标与线段的有效转化.

【设计意图】特殊三角形的存在性问题是几何中的重点问题和高频考点.学生通过等腰三角形的讨论，巩固坐标系中点坐标与线段长度的灵活转化，加深对分类讨论和数形结合思想的认识，并进一步促进“四能”的提升.

3 教学思考

3.1 设定素养目标，贯穿问题设计过程

核心素养的发展是提高“四能”的必备因素.在发现与提出问题的过程中，学生需要进行数学抽象、数学建模；在分析与解决问题的过程中，又需要学生借助直观想象、逻辑推理、数学运算等数学活动来解决问题.所以，“四能”的提高需要教师在设置情境时以素养目标为导向，并将其贯穿开放式问题设计的全过程.

在“两点的联想”情境中，学生利用直观想象有效建立形与数的联系，进行生成并不断发现新问题，如函数与坐标轴的交点坐标、直角三角形的斜边、直角三角形面积和斜边上的高以及△ABO的面积等，初步培养了发现问题和提出问题的能力.在后续环节中，教师采用增加条件的方式引导学生发现和提出问题，如添加直线、旋转以及y轴上动点P等条件，学生借助直观想象、数学建模等来理解并解决问题.由此可知，直观想象既是重要手段，也是学生理解和解决问题的基本素养.

3.2 遵循逻辑主线，调整问题开放程度

开放式问题的开放程度不符合学生认知水平和思维结构水平时，会导致学生思维过于发散，偏离教学目标，这就需要教师引导其按一定的逻辑发现和提出问题，并选择有意义、与所授主题相关的问题，这样教师在跟进讨论时也能回到教学的重点.教师在课前也要针对重难点设计一些高质量问题，当学生提出问题过少或质疑不全面时，就可以通过具有指向性的提示语启发学生提出预设问题.

在导入环节，教师通过回归知识原点设计低起点的开放情境，能使学生较容易地提出一系列相关问题，初步进行知识和思维的自主建构.在后续环节中，由A，B两点直接提出问题的开放程度较学生的认知水平略高，故采用增加条件的方式降低问题的开放程度，如添加直线、旋转以及y轴上动点P等条件，通过指向性提示语缩小问题切口，“收敛”学生思维.教师既要给予学生充分的探究空间，引发学生深层次的思考，又要为探究设置好主线，保证核心内容与方法的主旋律，最后总结典型思路与方法，以实现课堂效果的最优化.

3.3 聚焦思维活动，教学生学会思考

提高“四能”，就是要引导学生通过观察、思考、发现和提出问题，并在寻找解决问题的路径和方法中形成基本能力.发展“四能”的核心就是“教学生学会思考”.“教学生学会思考”就是教学生在思维活动中学会“提出”问题、“建构”概念、“寻找”方法以及研究解决问题的“一般方法”，这也意味着教师应培养学生形成由实践而得来的能力、有益的思考方式以及应有的思维习惯.

在变式环节，学生根据问题2的操作经验求B′坐标，但在构图时却无从下手，这时已有经验与新情境产生冲突，思维活动受阻.首先，教师引导学生重新审题，抓住“题眼”——45°，学生自然联想到等腰直角三角形.其次，如何构造等腰直角三角形.教师让学生分别以∠B为直角和∠C为直角作图并计算，在对比中切身感悟为什么构造∠B为直角更好，让学生经历“怎么想到的—怎么来的—怎么做”的思维提升过程.最后，教师引导学生将思路和眼界放得更宽，进行总结提炼.教师引导学生不断归纳解题过程中的思考策略，学生通过不断调整思维来适应新的情境，经过长期的顺应和同化，在提升数学能力的同时，形成探究思维习惯.在这样的过程中聚焦学生思维品质的提升和关键能力的培养，实现复习课从技能训练到素养发展的转变.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张东.基于发现和提出问题推进初中数学复习课教学的实践与思考［J］.数学通报，2019（4）：37.