物理图像“面积”的意义和应用

１ 问题提出

物理图像是描述物理量之间关系、分析解决物理问题的重要工具．图像的面积不一定都具有实际物理意义．如图１所示，vＧt 图像与横轴围成的图形的面积代表位移x．而图２中xＧt 图像与横轴围成的图形的面积代表什么呢？ 另外，x＝vt 也可以写成x＝tv，那么将vＧt 图像的横纵坐标交换得到tＧv 图像（如图３），该tＧv 图像与横轴围成的图形的面积也代表位移x 吗？

２ 图像面积的数学原理

在数学上，图像的面积一般用定积分来表示，而定积分的本质是无限分割和微元求和．如图４所示，以求解曲线f（x）在区间[a，b]上与横轴所围图形的面积A 为例．第一步：无限分割．将变量区间[a，b]分为n 个子区间，当n→∞时，每个子区间Δxi→０，则相应部分待求量ΔAi ≈f（εi）Δxi，其中εi 是子区间Δxi上任意x 值，这样就得到了微元量ΔA ，它表示任意子区间内曲线f（x）与横轴所围图形的面积，可称为“面积微元”，如图５所示．第二步：微元求和．将所得微元ΔA 无限求和，可得曲线在区间[a，b]上与横轴所围图形的面积A ．

由以上分析可知，如果宏观上，面积A 要代表一个具有实际意义的物理量，则微观上，面积微元ΔA应该要代表该物理量的微元量，这就是我们判断图像的面积是否有实际物理意义的依据．例如，图１中，面积微元vΔt 代表位移微元Δx，故所围图形的面积代表位移x．图２中，面积微元xΔt 没有对应某一实际物理量的微元，故所围图形的面积不能对应某个实际物理量．图３ 中，根据Δx ＝vΔt，与纵轴围成的图形的面积才代表位移x，tＧv 图像与横轴围成的图形的面积不代表位移！ 再举一例，根据Δt＝Δxv ＝１ /vΔx，图６中xＧ１/v图像与纵轴x 围成的图形的面积才代表时间间隔t．

３ 物理图像中不同类型“面积”举例

３.１ 图像与坐标轴围成图形的面积

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例１ （２０１０年全国卷）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，０～６０s内汽车的加速度随时间变化的图线如图７所示．

（１）画出汽车在０～６０s内的vＧt 图线;

（２）求在这６０s内汽车行驶的路程．

解析 aＧt 图像与横轴围成图形的面积表示“速度的变化量”，而前后两部分的面积大小相等，可知前１０s汽车匀加速，后２０s汽车匀减速恰好停止，最大速度为２０m·s－１．据此画出汽车在０～６０s内的vＧt 图线如图８所示．然后利用vＧt 图线与横轴围成图形的面积表示“位移”，从而求出路程x＝（３０＋６０）×２０／２ m＝９００m．

点评 图像与坐标轴围成图形的面积是最基本、最常见的图像面积，该面积可以是图像与横轴围成图形的面积，也可以是图像与纵轴围成图形的面积．这个面积有没有实际物理意义，有怎样的物理意义，要根据面积微元进行确定．

３.２ 两图像所夹图形的面积

例２ （２０２３年全国乙卷）如图９所示，一质量为M 、长为l 的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v０开始运动．已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时（ ）．

A．木板的动能一定等于fl

B．木板的动能一定小于fl

C．物块的动能一定大于１／２mv０２－fl

D．物块的动能一定小于１／２mv０２－fl

解析 依题意，物块离开木板时，速度应大于木板，画出物块m 和木板M 的vＧt 图像（如图１０）．图中两条图像所夹图形的面积代表物块与木板的位移之差，即相对位移，也就是木板的长度l．设物块的对地位移为xm ，木板的对地位移为xM ．显然，xm 可以用m 的vＧt 图像与横轴围成图形的面积表示．xM 可以用M 的vＧt 图像与横轴围成图形的面积表示．根据三个面积的大小关系，可得xm ＞l＞xM ，再分别对M 和m 列动能定理方程可知B、D正确．

点评 两个图像所夹图形的面积，实际上是两个图像与坐标轴围成图形的面积之差（注意横轴下方的面积可以认为是“负面积”）．

３.３ 封闭图像所围图形的面积

例３ （２０２３年福建卷）一定质量的理想气体经历了A →B →C →D →A 的循环过程后回到状态A ，其pＧV 图像如图１１所示．完成一次循环，气体内能________（填“增加”“减少”或“不变”），气体对外界________（填“做正功”“做负功”或“不做功”），气体________（填“吸热”“放热”“不吸热”或”不放热”）.

解析 气体经历了A →B→C→D →A 的循环过程后回到状态A ，初末状态的温度不变，而一定质量的理想气体的内能仅由温度决定，所以整个过程气体的内能不变，即ΔU ＝０．对pＧV 图像来说，图像与横轴所围图形的面积表示气体做功情况，其中A →B→C 的过程气体体积减小，是外界对气体做功的过程，C →D →A 的过程气体体积增大，是气体对外做功的过程，且C →D →A 的过程图像与横轴所围图形的面积大于A →B→C 的过程图像与横轴所围图形的面积，即气体对外做的功大于外界对气体做的功，则整个过程中表现为气体对外界做功．根据热力学第一定律ΔU ＝W ＋Q 可知，因为ΔU ＝０，W ＜０，则Q＞０，故气体从外界吸收热量．

点评 封闭图像所围图形的面积可以看作上下两段图像所夹图形的面积，再利用两个图像与坐标轴所围图形的面积之差来理解．据此可知，如果将图中循环方向由顺时针改为逆时针，则“做正功”变为“做负功”，“吸热”变为“放热”．

３.４ 图像上点的横纵坐标相乘的“面积”

例４ （２０２１年全国卷）图１２中的直线Ⅰ、Ⅱ分别是电池１和电池２的路端电压随电流变化的图线，直线Ⅲ 是某用电器两端电压随电流变化的图线．则（ ）．

A．电池１和电池２的电动势相等

B．电池１和电池２的内阻之比为３∶５

C．该用电器的电阻为２Ω

D．该用电器分别接在电池１和电池２上时消耗的功率之比为９∶４