含间隙—软冲击振动系统的动力学特性研究

摘 要：文章以含间隙—软冲击振动系统为研究对象，建立该系统的Poincaré映射，通过数值模拟，分析了该系统的周期碰撞冲击特性，研究了低频下亚谐波运动与之间的转迁规律，揭示了冲击约束面的刚度系数变化对系统运动特性的影响；研究显示：在高频时，随着激励频率的减小系统经运动发生倍化分岔、擦切分岔转入混沌或长周期运动，再经历逆倍化序列等演变为运动；在低频时，运动特征为非粘滞型颤振；通过分析不同约束面上刚度系数的系统全局分岔图可知冲击约束面的刚度系数越大，系统振动特性越明显，稳定性下降。

关键词：软冲击 颤振 分岔 混沌 稳定性

0 引言

冲击振动现象普遍存在于各类机械系统中，例如高速行驶的列车轮轨之间的冲击、齿轮箱内轮齿啮合的冲击等，这种冲击振动都会对零部件造成损伤从而影响机器的使用寿命，影响设备安全运行，因此，研究冲击振动系统的分岔机理对振动冲击系统的优化设计、运行安全性和使用寿命的提高以及降低噪声等方面均具有重要意义。

近年来国内外许多学者都对含有软冲击约束的系统开展了研究，P. Brzeski[1]以振荡器之间的距离和谐波激励的相位差为控制参数，分析了不连续耦合对多稳态系统动力学的影响。Luo等[2]探究了冲击碰撞系统的粘滞或非粘滞周期运动转变为混沌的过程。安贵杰[3]建立了考虑干摩擦的间隙碰撞振动系统动力学模型，分析了摩擦系数等参量对系统动力学特征的影响。刘汝逾[4]分析了双侧对称碰撞振动系统在简谐激励下的稳定性和分岔行为。王世俊[5]研究了一种多刚度的两自由度冲击系统的舌状转迁域内亚谐碰撞振动的类型和形成机理，以及系统参数在系统周期碰撞振动在（ω，δ）参数区域平面上的运动特征。Luo 等[6]分析了有间隙的两自由度振动系统的动力学行为和系统参数的关联关系。Joseph Páez Chávez[7]对两个周期强迫 Duffing 振子通过软耦合进行了分岔分析，分析表明在多稳态系统中，可以通过瞬态冲击来改变稳定吸引子的数目和减少共存解的数目。张晓蓉[8]通过数值仿真，揭示了一种带有非线性赫兹接触力的振动冲击系统在低频率、小间隙下存在非完全颤振现象，总结了系统响应从1-1-1周期运动转为非完全颤振运动的过程。王晨升[9]以具有双边约束的两自由度冲击振动系统为研究对象，分析了其周期运动的稳定性及系统在不同参数下发生分岔并转变为混沌的过程，为实际动力学系统优化提供了理论依据。

本文在刚性冲击系统的基础上，建立了两自由度含间隙-软冲击振动系统动力学模型，通过数值仿真，分析了约束面刚度系数等参量对系统动力学特性的影响。

1 两自由度含间隙-软冲击振动系统的动力学模型

两自由度含间隙-软冲击振动系统动力学模型如图1所示，系统中两振子的质量分别为和；系统固定基础左侧通过阻尼系数为的阻尼器和刚度系数为的非线性弹簧与振子连接，固定基础右侧通过阻尼系数为的线性阻尼器和刚度系数为的非线性弹簧与振子相连接；振子右侧含有由线性弹簧和线性阻尼器组成的软冲击约束，其刚度系数和阻尼系数分别为和。振子和的位移分别为和，激振力作用于振子上，其中、和分别为简谐力振幅、激励频率和相位角；当激振力振幅较小时，系统呈现为无冲击受迫振动，随着的不断增大，当时，振子与约束端面发生软冲击，此时系统变为具有复杂动力学特征的振动系统。

系统无量纲运动微分方程为：

其中与振子和的位移差、速度差和间隙相关，且有：

“.”表示对无量纲时间的求导，引入无量纲变量和参数为：

选取系统参数的取值范围：

；系统周期碰撞运动形式用表示，一个运动周期内的激励力周期数用表示；冲击运动周期内振子与约束面的碰撞次数用表示，特别的是当时，表示非碰撞，即两振子的位移差小于间隙；为了得到周期数和冲击次数，分别建立系统反应冲击特征的Poincaré映射截面和周期特征的Poincaré映射截面。

对于冲击振动特征，分析上的不动点数量即可得到振子和约束的冲击碰撞次数，由上的不动点数可得到周期振动的循环数。振子冲击映射截面的映射方程为：

其中：；，；为系统参数，。

2 两自由度含间隙-软冲击振动系统的动力学分析

2.1 软冲击振动系统的周期运动及分岔特性

颤振行为有粘滞振动与非粘滞振动两种；其中粘滞型颤振是指振子在碰撞速度为零时与左侧固接在振子上的约束接触，且振子发生碰撞时合外力向左，这使得振子与冲击面发生粘连，此时冲击振动系统将变成单自由度强迫振动系统，当振子所受合外力方向改变时，振子逐渐离开冲击接触面，粘滞现象逐步消失，系统又成为两自由度冲击振动状态；该软冲击系统属于不含粘滞颤振现象，也就是振子与左侧约束面之间为有限次碰撞（p很大）。

选取系统的无量纲参数为：，，，，，。以激励力频率为控制参数，取间隙，数值仿真得到区间内、随变化的全局分岔图，如图2所示。

图2（a）和图2（b）分别是庞加莱截面和庞加莱截面上的系统全局分岔图；如图2（a）所示，随着激励频率的减少，软冲击系统出现亚谐运动窗口，运动周期数逐渐递减，并且在相邻的亚谐运动之间夹杂其他运动形式，图2（c）为图2（a）的局部放大图，图2（d）为图2（b）的局部放大图，由图可清晰得到随着的减小，系统在时相邻亚谐运动之间的转迁变化规律。

分析可知：在图2（a）中，随着激励频率的减小，系统由1/2运动经历复杂的转迁变化到1/1运动；从图2（c）中可以看出，随着的减小，系统的1/2运动发生倍化分岔进入2/4运动，2/4运动再倍化嵌入4/8运动，随着激励频率的减小，系统的4/8运动经历一系列倍化进入长周期运动，又逐渐退化为2/4运动，2/4运动因擦切运动转为3/4运动，3/4运动由跳跃分岔进入短暂的无接触0/1运动，随后系统进入短暂混沌运动状态，当时，系统经逆Hopf分岔嵌入4/6，随后又经倍化序列嵌入混沌运动参数域，当随着激励频率的不断减小，当时，系统退化为稳定的2/2运动，在持续减小的过程中，系统的运动状态比较复杂，在参数区间上，系统的周期运动之间夹杂着混沌运动或长周期多冲击运动窗口，继续随着的递减，系统最终1/1运动。

如图2（a）所示，当时，朝着的减小的方向上，系统出现了擦切分岔序列，产生基本周期运动，每发生一次擦切分岔，振子便于冲击约束面的碰撞次数增加一次，且发生擦切运动时的碰撞速度为零，即系统由进入运动；该擦切分岔为Real-grazing分岔，即越过Real-grazing分岔边界线时产生稳定的运动。为进一步分析约束面刚度系数对低频区域运动特性的影响，分别计算得到和时的系统分岔图如图3所示。

图3（a）中当时，系统为完全的弹性冲击，随着减小，系统的基本周期运动转迁规律为：

其中：表示擦切分岔；表示鞍结分岔。

图3（b）中当时，随着的减小，系统的基本周期运动转化规律如下：

通过对比图3（a）和3（b）可知：从总体上看，系统都是从基本周期运动依次发生擦切分岔进入运动，而后又依次发生鞍结分岔进入运动的过程；分析图3发现系统在擦切分岔发生域中，出现了短暂的倍化周期序列，如在图3（b）中，当时，系统的3/1运动同时发生擦切和倍化分岔进入7/1；图3（b）中时系统的擦切分岔次数较多，由此得知在低频参数域内，接触面的约束刚度系数越大，系统的的擦切和鞍结分岔特性越丰富，且在低频区域系统不存在粘滞型颤碰运动，该特性在图4所示的时间历程图中可得到体现，图4是时分别取和时的时间位移图，其中图4（c）和图4（d）分别是图4（a）和图4（b）的局部放大图，便于更清晰的观察系统的颤碰运动特性。

2.2 约束面刚度系数对系统分岔特性影响

为了研究软冲击约束面的刚度系数对系统振动特性的影响，保持系统其他参数不变，选取为研究参数得到系统的全局分岔图如图5所示，采用叠加分岔图的方法更有利于直观分析系统的冲击次数和激励周期数；图中黑色部分为系统在上的全局分岔图，红色部分为系统在上的全局分岔图，对比分析图5（a）～（d）可知对系统动力学行为的影响，在图5（a）中当时，系统在参数域上为稳定的1/1运动；在图5（b）中当时，随着激励频率的减小，系统在时1/1运动倍化为2/2运动，当时系统发生逆倍化分岔转迁为1/1运动，在低频区域有极少的擦切分岔和鞍结分岔区域，即：；在图5（c）中，随着激励频率的减小，系统由1/1运动倍化分岔为2/2运动，随后当时系统由周期1/1运动发生Hopf分岔嵌入混沌运动，随着的减小，当时系统又经逆Hopf分岔进入稳定的1/1运动，在低频区域的运动特性表现为稳定的擦切分岔和鞍结分岔特性；在图5（d）中，系统的运动特性比较复杂，尤其是在低频区域系统表现为非粘滞型颤碰运动，系统其他运动特性与基本参数下的图2（a）比较类似，不再赘述；对比分析图5（a）～（d）可知在冲击约束面刚度系数越大，系统的运动特性越复杂，在较小时，系统基本表现为稳定的周期运动，较大时，随着激励频率的减小，系统出现了一系列的分岔特性及混沌运动区域，在低频区域表现为冲击次数较高的非粘滞型颤碰运动。

3 结论

本文研究了一类两自由度含间隙-软冲击振动系统动力学模型在低频参数域内的颤振现象和高频下的运动特性，并分析了冲击约束面的刚度系数变化对系统运动特性的影响。

（1）在低频参数域上，随着激励频率的减小，系统不断发生Grazing分岔使振子与约束面的碰撞次数不断增大进入运动，在擦切分岔过程中夹杂着部分倍化分岔窗口，随后系统又经鞍结分岔，碰撞次数依次减小，并最终趋于稳定的周期运动，由于系统冲击面带有刚度和阻尼，属于软冲击系统，所以在低频下并不会出现粘滞型颤振运动。

（2）冲击约束面的刚度系数对系统的运动特性影响较大，表现为在较小时，系统主要体现为稳定的周期运动，随着增大，系统发生倍化分岔出现短暂的周期运动窗口，当时，随着激励频率的减小，系统出现倍化分岔和Hopf分岔，周期运动之间嵌入混沌运动窗口，当时，系统的运动形式异常复杂，此时由于冲击约束面刚度系数接近1，即系统接近刚性冲击，混沌运动窗口明显增多，在低频下出现了冲击次数较大的运动，由此可知冲击约束面的刚度系数越大，系统运动稳定性越差。

（3）擦碰接触致使系统出现奇异性，系统的倍化序列存在不连续性。

基金项目：广西高校中青年教师科研基础能力提升项目（2021KY1388）。

参考文献：

[1]Brzeski P，Pavlovskaia E，Kapitaniak T，et al.Controlling multistabilityin coupled systems with soft impacts[J].International Journal of Mechanical Sciences，2016：1631-1912.

[2]Luo G W，Lv X H. Controllingbifurcation and chaos of a plastic impactoscillator[J].Nonlinear Analysis Real World Applications，2009，10（4）：2047-2061.

[3]安贵杰，刘俊杰，闫哲，张有强.一类含干摩擦弹性碰撞系统的动力学特性分析[J].噪声与振动控制，2021，41（05）：72-79.

[4]刘汝逾，牛江川，申永军，等.分数阶单自由度线性振子双侧对称碰撞振动分析[J].振动与冲击，2021，40（16）：9.

[5]王世俊，同长虹，罗冠炜.含多刚性约束的两自由度振动系统的动力学特性分析[J].振动与冲击，2021，40（6）：11-22+78.

[6]Luo G W，Shi Y Q，Jiang C X，et al.Diversity

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[7]Paez Chavez J，Brzeski P，Perlikowski P.Bifurcation analysis ofnon-linear oscillators interacting via softimpacts[J].International Journal of Non-Linear Mechanics，2017，92：76-83.

[8]张晓蓉，谷彦龙，颉成利，等.两自由度赫兹接触碰撞振动系统的动力学研究[J].机械强度，2020（4）：805-810.

[9]王晨升，苏芳.两自由度双边刚性约束碰撞系统的动力学分析[J].机械强度，2014，036（05）：671-675.