工程教育背景下“概率论与数理统计”教学改革

2024-10-20薄洪波赵利云

科技风 2024年29期

摘要：工程教育专业认证（简称“工程认证”），其核心是将学生解决问题的能力作为认证主体，对学生提出12条毕业要求。通过对“概率论与数理统计”教学现状的分析，提出具体的实施计划。首先，根据工程教育认证的要求，制定课程教学目标，改进教学大纲。其次，更新教育理念，重构教学重点。最后，按课程教学目标矩阵进行能力达成度评价，并且做到分项分能力进行评价，再结合具体案例，以及我校具体专业的期末成绩，进行课程目标达成情况分析。

关键词：工程认证；概率论与数理统计；教学评价；课程目标达成度

1概述

工程教育专业认证（简称“工程认证”），其核心理念是将学生解决问题的能力作为认证主体［1］。《工程教育认证标准》（2015版）对学生毕业要求一共有12条，其中毕业要求1工程知识：能用数学、自然科学和专业知识解决复杂工程问题［2］。毕业要求2问题分析：能够运用概率论及数理统计的专业知识表达相关行业的问题［3］。

2课程支撑的毕业要求

2.1毕业要求1

通过“概率论与数理统计”的学习，使学生掌握概率论的基本知识，熟悉研究随机现象的数学工具及方法，树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法。包括理解随机变量的概念，掌握随机变量的6种重要分布，了解生活中的哪些事件服从什么分布；理解随机变量的期望、方差的意义，并会熟练计算；了解统计学的四种重要分布，并会做简单的统计分析，例如区间估计、假设检验等。

2.2毕业要求2

通过“概率论与数理统计”课程的学习，培养学生分析问题以及解决问题的能力，并为进一步学习相关课程而奠定必要的数学基础［4］。

3现状分析

数学教师普遍缺乏工程实践经验，所以在讲解“概率论与数理统计”课程时很少加入工程思想。传统教学大纲中主要是课程的性质与任务、教学重点与难点，重点强调知识传授，而工程教育专业认证要求在学生能力培养上更加突出，同时体现课程考核内容及方式对毕业要求达成度的支撑情况［5］。本课题根据工程认证对学生的毕业要求，利用各工科专业实际教学经验，对“概率论与数理统计”课程的教学模式、教学设计及教学内容提出一些建议：

（1）根据工程教育认证的要求制定课程教学目标，改进教学大纲［6］。

（2）更新教育理念，重构教学重点，加入思政教育。

（3）根据课程教学目标，计算各个达成度，并且利用课程权重分配表，结合不同课程培养目标，改进教学评价。

4具体实施计划

4.1重新修订教学大纲

工程认证强调工程能力的培养和训练，所以不仅要把工程认证的要求体现在教学大纲中，而且新的教学大纲应包括课程信息、课程目的、能力要求、教学内容、教学要求、考核方式说明、教学评价、参考书籍、诚信要求等［7］。

4.2重构教学重点，加入思政教育

在工程教育专业认证背景下，紧密联系实际，优化线上线下混合式教学模式，优化教学内容，构建“概率论与数理统计”教学案例库。

案例一：

授课要点：贝叶斯公式

融入点：以故事“狼来了”为例，计算出放羊娃每次谎报情况后，人们对放羊娃说话的信任程度。

问题分析：

首先做出如下假设：

刚开始人们对放羊娃说话的可信度为0.7，放羊娃本身说的是实话，但人们认为其说谎的概率为0.2，放羊娃本身说的是假话同时人们也认为其说谎的概率为0.4［8］。

设B事件代表放羊娃本身说的是实话，则B事件代表放羊娃本身说的是假话，C事件代表人们认为放羊娃说谎。

当人们第一次听到“狼来了”时，计算出：p（B）=0.7，p（B）=0.3，p（C|B）=0.1，p（C|B）=0.4，由贝叶斯公式得出：

p（B|C）=p（B）p（C|B）p（B）p（C|B）+p（B）p（C|B）≈0.368

当人们第二次听到“狼来了”时，计算出：p（B）=0.368，p（B）=0.632，p（C|B）=0.1，p（C|B）=0.4，继续由贝叶斯公式得出：p（B|C）≈0.127。

当人们第三次听到“狼来了”时，计算出：p（B）=0.127，p（B）=0.873，p（C|B）=0.1，p（C|B）=0.4，再次使用贝叶斯公式得出：p（B|C）≈0.035。

分析如下：当山下的人们第一次听到“狼来了”，迅速跑上山，结果发现是放羊娃说假话，由此对放羊娃说话的可信度由07降到了0.368；当人们第二次听到“狼来了”，发现放羊娃继续说假话后，对放羊娃说话的可信度由0368降到了0.127；当人们第三次听到“狼来了”，对放羊娃说话的可信度由0.127降到了0.035，这个概率计算结果特别小，也即人们已完全不相信放羊娃说的话，也就使得小孩有一个被狼吃掉的结局。

预期教学成效：这个案例指出了做人一定要有诚信，使学生明白“失去诚信就等同于毁灭自己”的道理，尤其目前大数据技术如此“发达”，一旦失去诚信，不只是在读书期间受影响，将来毕业走向社会，也会影响到工作与生活。

案例二：

授课要点：数学期望的应用

融入点：小时候，商家让小伙伴集卡片，收集满这些字样或者图片后就可以兑换东西，比如“水浒108将”，又或者“三国卡”等这类集卡活动，成为童年时美好的回忆。有一生产商家将一种卡片放入食品袋中，每一包食品只有一张卡片，其中卡片有n张互不相同，将各类不同的卡片均匀混合。问：需要平均购买多少包这样的食品才能集齐n张不同的卡片？

问题分析：对于该问题，可以换个思路，把它想象为有一个箱子中，装有1，2，3，…，n个不同的卡片，重复独立从箱子中抽出一张卡，记录，然后放回，计算平均要摸多少次才能将1，2，3，…，n都记录完全。

具体过程：设Xi（i=1，2，3，…，n表示已经抽取了i-1张不同的卡片后为了获取第i张所抽到的次数，在本案例中，设每次抽到的概率为pi，可以知道Xi服从参数为pi的几何分布，几何分布期望E（Xi）=1pi（i=1，2，3，…，n），所以要抽取的平均次数为Y=1p1+1p2+1p3+…+1pt。

接下来计算pi，当i=1时，抽取任意一张卡片都是可行有效的，其概率p1=1，当i=1时，此时因为只有n-1张有效卡片，因此概率p2=n-1n，那么在抽到i-1张卡片后，后面一次就抽到第i张的有效卡片的概率为pi=n-i+1n（i=1，2，3，…，n），代入Y=1p1+1p2+1p3+…+1pi中，得到：

Y=nn+nn-1+nn-2+…+nn-i+1+…+n2+n1

=n1+12+13+…+1n

分析如下：若要集齐“水浒108”将，就是当n=108时，计算出约等于568.51包。

预期教学成效：所以小时候想集齐去兑换奖励的想法是不可取的，从这里也可以看出，就算商家每一张卡片都不少地放进食品中，想要集齐卡片花费的价值远远高于去兑换奖励的价值。这也就是商家高明之处，以这种隐晦方式来促销商品，提高商家收益。

案例三：

授课要点：概率的加法与乘法公式

融入点：在课程期间，教师打算进行一次期中考试，关于试卷的题型，则要求每位同学自己出一份试卷并上交，考试时将全部试卷混合，然后教师让每位同学从中任意抽取一份进行答题，现有问题：会不会有很多人都抽到自己出的试卷？

问题分析：这是一个典型的概率问题，将其转化为概率知识进行计算：假设班上共有n个人，则至少有1人抽到自己所出试卷的概率，以及平均有多少人会抽到自己所出的试卷［9］？

具体过程：假设Ai：表示第i个学生抽到自己所出的试卷（i=1，2，3…n），则“至少有1人抽到自己所出试卷”这一事件表示为：A1∪A2∪…∪An。由概率的加法公式和乘法公式可得：

P（∪ni=1Ai）=∑ni=1P（Ai）-∑1i＜jnP（AiAj）

+∑1i＜jnP（AiAjAk）…+（-1）n-1P（A1…An）

其中：

P（AiAj）=P（Ai）P（Aj｜Ai）=1n·1n-1

P（AiAjAk）=P（Ai）P（Aj｜Ai）P（Ak｜AiAj）=1n·1n-1·1n-2…

因此：

P（∪n0ed72814a73045b176d2b791560ad0de48724ae646f727d3f5905825810ef6a7i=1Ai）=C1n·1n-C2n·1n·1n-1+…

+（-1）n-1Cnn·1n·1n-1…1

=1-12！+13！-…+（-1）n-11n！

≈1-e-1

≈0.6312

即：至少有1人抽到自己所出试卷的概率为0.6312，从表面上看，这个概率计算结果较大，但实际上“至少有1人”包含很多种情况，于是计算平均有几个人会抽到自己的试卷可以用数学期望求出［10］。

令Xi=1：表示第i个人抽到自己所出的试卷，Xi=0：表示第i个人没有抽到自己所出的试卷，则Xi服从（0－1）分布，令X表示抽到自己所出试卷的人数，则：

X=∑ni=1Xi，E（X）=∑ni=1E（Xi）=n×1n=1

即：n个人中，平均只有1个人会抽到自己所出的试卷。因此，教师的建议是合理的。

预期教学成效：一方面有利于学生从解决实际问题的角度理解晦涩的理论知识；另一方面有利于学生将理论知识应用于实际，用数学的知识解决实际问题［11］。

4.3改进教学评价

具体到每次课都会有一定数量的纸质作业，原则是求精不求多。为了确保学生是独立完成作业的，要求每个学生讲解指定的作业题目，并录制成视频上传至云空间，教师要做小范围的抽查。

下面以我校2022年秋学期通信工程专业学生为例：

课程目标1达成情况分析：课程目标1主要考查学生对本门课程基本理论的理解情况。这部分成绩平均达成值为0.86，其中最高达成值为1，表明学生对该部分知识整体上掌握较好。最低达成值为0.45，达成值低于参考值的学生有3名，这反映出还有4%的同学对该部分知识点仍未掌握，从学生学习形成性评价中体现这些同学存在对基本理论内涵理解不透彻或者有偏差，基本概念不清楚，今后学习过程中应在理论内涵、基本概念的理解方面进行深入改进和提升，教学中应加强实例的列举等教学方法的改进，提升学生主动思维的积极性。

课程目标2达成情况分析：课程目标2主要考查学生能够应用基本理论分析实际问题的能力。这部分平均达成值为0.91，表明学生对该部分内容整体上掌握较好。其中最高达成值为1，最低达成值为0.33，达成值低于参考值的学生有3名，占4%，反映出这些同学对该部分知识点仍未掌握，不能达到熟练运用的程度，不具备运用基本理论知识对实际问题进行合理分析的能力。结合这些学生的过程性考核，认为他们平时的学习习惯和学习态度不积极是导致不合格的主要因素。今后需要将情况反馈给辅导员、班主任，加强对学生的引导和管理，提高其后期学习的积极性，还要开展一对一帮扶，弥补其知识短板，提高学习效果。

参考文献：

［1］孙琦，徐锦丽.基于OBE模式的《数字电路》课程教学改革研究［J］.电脑知识与技术，2019，15（35）：170-171.

［2］姜海丽，孙秋华，赵言诚.工程教育专业认证背景下工程实例教学模式的探析［J］.黑龙江高教研究，2017（02）：162-164.

［3］程晨，周祎，孟超.应用型本科高校背景下工程教育认证的可行性分析——以通信工程专业为例［J］.科教导刊（上旬刊），2018（25）：40-43.

［4］张广文，周华.基于雨课堂的《有机波谱学》混合式教学实践［J］.广东化工，2020，47（09）：196-197+182.

［5］单连伟，吴泽，董丽敏.基于国际工程教育专业认证的《无机化学》教学思考［J］.高教学刊，2020（01）：10-12.

［6］薛翠真，冯琼，乔宏霞，等.工程教育认证背景下土木工程材料实验课程教学方法探索与改革［J］.大学教育，2020（11）：72-74.

［7］王海波，文海英，郭美珍.面向计算机工程教育认证的线性代数课程建设与探究［J］.电脑知识与技术，2019，15（06）：83-84.

［8］张慧，朱庆峰，杨广芬，等.《概率论与数理统计》课程思政案例设计及应用［J］.高等数学研究，2021，24（04）：117-120.

［9］王妍.数学建模思想融入概率统计教学中的案例［J］.科技展望，2016，26（21）：209.

［10］陈蕊.例谈中学数学建模教育［J］.新课程研究，2020（32）：88-89.

［11］定明捷，王远伟，石燕芳.基于创新型人才培养的行政管理专业案例教学质量影响因素探析［J］.教师教育论坛，2019，32（11）：22-30.