破解思维障碍，深化数学概念理解

［摘 要］学生常将周长与面积这两个几何概念混淆。为帮助学生克服这一认知障碍，设计拓展课程“蜘蛛爬窗户游戏”。该课程采用寓教于乐的形式，让学生在动手操作中深化对周长概念的理解。

［关键词］数学概念；拓展课程；周长；面积

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）29-0079-03

数学拓展课程的设计，应基于对教材内容的深入挖掘和对学生认知规律的精准把握，旨在对基础课程进行有效的补充、延伸、拓展与整合。为确保“蜘蛛爬窗户游戏”这一拓展课程的质量与效率，教师需全面而细致地理解教材的知识结构，将学生在学习过程中遇到的概念理解误区转化为拓展课程内容，促进学生对于相关数学概念的深化理解和准确应用。

一、课前思考

在小学数学教学中，周长与面积的概念教学需遵循由浅入深的顺序。青岛版教材在三年级上册首次出现周长概念，此时学生已具备一定的生活经验，对周长的理解较为直观，因此在解决问题时正确率较高，不易产生概念理解上的障碍。然而，到了三年级下学期学习面积概念时，可能是由于两者在概念上有相似之处，且在生活中的应用场景有所交叉，学生常常会将周长与面积混淆。

为了帮助学生清晰地区分周长与面积，教师可以在学生学完“周长”而尚未开启“面积”学习之间的“空档期”，安排衔接拓展课“蜘蛛爬窗户游戏”，旨在承前启后。教学目标如下：

首先，学生将通过参与互动式游戏，学会正确识别和计算图形周长，并能灵活运用能量图标表示蜘蛛的爬行路径长度。

其次，学生通过观察、猜测、实践和验证等多种学习方式，初步理解消失路线与新增路线之间的关系，并构建周长保持不变的数学模型。通过参与游戏，学生将积累实践经验，为未来的数学学习打下坚实基础。

最后，学生在游戏活动中不仅能够体验到成功的喜悦，还能养成良好的学习习惯。同时，学生能学会有效地与他人合作交流，从而提升数学素养和协作精神。

二、教学实践

（一）规则讲解

师：今天，我们要开展一场名为“蜘蛛爬窗户游戏”的冒险！一只蜘蛛正站在窗户前，它准备沿着窗户的边缘爬行。每当它爬完一条宽边，就需要消耗1壶能量（动画演示壶形能量的消耗，如图1-1）；每当它爬完一条长边，就要消耗1桶能量（动画演示桶形能量的消耗，如图1-2）。那么，如果蜘蛛绕着这扇窗户爬了一整圈，它总共会消耗多少能量呢？

师（课件出示能量图标，如图2）：用能量图标可以清晰地看到蜘蛛爬一圈总共消耗了多少能量。每爬一条宽边，就用1个壶形图标来表示；每爬一条长边，就用1个桶形图标来表示。

【设计意图：“蜘蛛爬窗户游戏”能以直观、形象的方式引导学生深入理解周长的概念。游戏规则巧妙地将窗户的宽边和长边与壶形和桶形能量图标相对应，实现了数学知识与游戏元素的完美结合。在游戏过程中，学生将进行观察、想象、操作和验证等多维度的认知活动，从而在实践中构建周长概念的数学模型，并积累宝贵的学习经验。】

（二）在猜想中构建模型

师（出示图3）：有一个由6扇窗户组成的大长方形落地窗，一只勇敢的蜘蛛决定沿着这个落地窗的外侧爬一圈，它需要消耗多少能量呢？

师：如果从这个落地窗中移除1扇窗户，小蜘蛛爬一圈消耗的能量会有什么变化呢？是减少了还是没有变化？

师：看来大家对这个问题有不同的看法。请大家用练习纸独立研究一下这个问题。首先，随意移除1扇窗户，在练习纸上用“×”标记出被移除的窗户位置；其次，计算剩余窗户构成的新图形的周长，并以能量图标表示蜘蛛爬落地窗所消耗的能量；最后，比较移除掉窗户前后，以及移除不同窗户时，小蜘蛛爬落地窗消耗的能量，分析其差异。

【设计意图：通过比较，学生深刻理解在窗户数量及总面积均减少的前提下，移除不同位置的窗户对消耗总能量的影响可能存在差异。】

（三）变式处理，正式确立模型

1.移除单扇窗户，拟定模型框架

师：请计算蜘蛛沿着12扇窗户组成的落地窗外侧爬行一圈所消耗的能量。

师：移除1扇窗户的情况下，如何让蜘蛛爬行消耗的能量不变？

生1：移除角落的窗户时，消耗的能量保持不变。这是因为新增的长和宽与减少的长和宽位置平移后能完全重合，增加的能量图标（壶形和桶形能量图标）与去掉的能量图标数量相等，从而使得总能量的数量不发生变化。

师：所有角上的窗户都符合这一规律。通过对比移除窗户前后的能量图标数量（如图4），就能够直观地看到能量消耗的变化。

【设计意图：利用动态演示技术巧妙地展示了在特定条件下，即移除角落窗户时，蜘蛛的爬行路径长度保持不变。这种直观的教学方式激发了学生的好奇心和探索欲，引导他们主动思考并尝试解答“如果继续移除角落的窗户，蜘蛛的爬行路径长度是否仍然不变”的问题。这种方法以问题为导向，鼓励学生独立思考，减少了外界干扰，从而提高了他们解决问题的能力，也为学生后续构建模型和深入学习奠定了基础、指明了方向。】

2.移除多扇窗户，加固模型主骨

师：在特定条件下，是否可以继续移除窗户，而不影响蜘蛛爬行消耗的能量数量？

生1：动手操作后发现，当消失的路线与新增的路线长度相等时，蜘蛛消耗的能量确实保持不变。（如图5）

【设计意图：通过一系列科学方法，学生从初步猜测到实际操作与测量，再到严谨验证，以及最后的交流与反思，逐步理解了周长这一几何属性的重要性。这一过程不仅加深了学生对几何概念的理解，还锻炼了他们的观察力、实验技能和批判性思维。】

3.小组互动合作，应用数学模型

师（出示图6）：以同桌为单位进行角色扮演。其中一人负责模拟窗户的搭建，另一人则模拟蜘蛛爬行。要求在模拟蜘蛛爬行的过程中，必须确保蜘蛛消耗的能量保持恒定。

三、教学反思

（一）趣味与疑问并重，激发学习原动力

1.注重形式创新，激发学习兴趣

将学生的日常生活经验融入教学设计中，是促进学生深度理解的有效手段。“蜘蛛爬窗户游戏”这一教学活动巧妙地利用学生对窗户这一常见元素的熟悉度，引导他们探究由窗户组成的图形的周长。这样的问题贴近学生生活，降低了学习门槛，使学生轻松进入学习状态。通过实际操作和观察，学生在亲身体验中发现了数学规律，提升了学习兴趣和探究欲望。

2.精心设计内容，激发学习欲望

游戏作为一种教学活动形式，能有效激发学生的学习欲望，而精心设计的游戏内容则是驱动学生学习的关键。“蜘蛛爬窗户游戏”从简单的窗户元素出发，通过逐步增加窗户数量和蜘蛛爬行难度，引导学生应对逐步升级的挑战。这种设计策略避免了游戏内容的单调乏味，并通过适度的难度递增，让学生在每次挑战中都能获得成就感，持续激发他们的学习热情和探索欲望。

（二）经历科学推理，发展数学能力

1.在悬念中推进师生对话

在“蜘蛛爬窗户游戏”的活动中，学生通过观察和实验验证关于能量消耗变化的假设。这一过程是一种科学推理过程，涉及提出问题、构建模型、收集数据和得出结论，以探索自然规律。在推理过程中，学生使用“能量图标”这一直观工具来描述和分析图形周长的变化，增强了观察力和表达力，有效促进了思维发展和推理能力的提升。

2.在想象中构建知识桥梁

想象是促进学生空间观念发展的关键。教师引导学生预见“移除窗户”后图形的变化，思考哪些元素改变、哪些保持不变，并将想象中的结果与实际运动结果对比，以不断完善和调整自己的想象。这种想象过程有助于学生深化对空间关系的理解和知识内化，使学生的思维更加活跃，想象更加合理丰富，联想逻辑更加缜密严谨。

（三）多次研磨，巩固深化理解

1.呼应原型，增强数学韵味

在周长概念的教学延伸中，“蜘蛛爬窗户游戏”引入与周长概念紧密相连的“能量图标”这一信息载体，旨在加深学生对周长的理解。游戏通过移除窗户（即减少图形面积）的动作，为学生提供了直观的体验，有效降低了学生在区分周长与面积时的认知难度。

2.激发矛盾，点燃思维火花

学生的认知发展是一个不断重构的动态过程，包括既有知识体系的解构和新知识体系的构建。在这一过程中，认知冲突的出现至关重要，因为它激励学生重新审视和整合他们的知识结构。本节课通过两个精心设计的认知冲突点，有效地挑战了学生的预设思维。

首先，从6扇窗户中随机移除1扇窗户，不同的移除策略会导致能量图标分布的不同。这一情境打破了学生对“唯一正确答案”的刻板印象，培养了他们的灵活性和创造性思维。

其次，从12扇窗户中移除1扇窗户及多扇窗户时，学生可能会直观地认为图形面积减小则周长减小，然而实际情况并非如此。这种认知差异激发了学生的好奇心，促使他们深入探究图形变化的数学原理，加深了对面积概念的理解。

（责编 金 铃）