以小学四年级数学教学为例探究“说理任务”的有效实施

［摘 要］思维的发展往往受语言的制约，而培养数学说理能力能够促进思维能力的提升，进而加深对数学的理解。在四年级数学教学中进行“数学说理”个性化学习任务的实践研究，旨在帮助学生在寻找理由、探索原理、研究理论的过程中发展思维能力，实现真正的数学理解。

［关键词］数学说理；任务实施；数学理解

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）29-0069-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了“三会”的理念，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。实际上，思维的发展往往受到语言的限制，而发展数学说理能力能够有效促进思维能力的提升，进而加深对数学的理解。基于这样的认识，笔者在四年级的数学教学中开展了“数学说理”个性化学习任务的实践研究，目的是让学生在寻找理由、探索原理、研究理论的过程中积极参与，促进他们思维能力的发展，并有效地实现真正的数学理解。

一、思索：“数学说理”与“数学理解”

（一）有理难说的尴尬

教学并非简单传授，学习也不仅仅是被动接受，甚至学会了也并不意味着真正理解。在数学领域，尤其强调“理”的重要性。教师在面对学生时，常常因为学生不理解而感到沮丧，原因是没有给予学生充分理解的空间。

例如，在解“按照顺序计算，然后列出综合算式”这类题目时（如图1），学生的表现往往不尽如人意。

为何学生面对直接给出的算式能够熟练计算，一旦变换形式就感到无所适从？探究这一现象的根源，原因是教师担心教学时间的限制等，教学时仅停留在表面，甚至采取回避的态度。加上长期以来的机械训练，学生的思维自然变得僵化，难以灵活运用所学知识，无法达到“真理解”的境界。

（二）“数学说理”的价值

数学理解具有层次性。依据教育专家斯根普对理解的定义，可以将数学理解分为五个层次：前理解（尚未建立关系）、误解（将对象归入不适当的认知图式中）、不充分理解（未能认清对象的本质属性，错误地将非本质属性纳入适当的图式中）、理解（区分对象的本质属性和非本质属性及其关系，将对象纳入适当的图式中）、后理解（在关联的基础上进一步抽象形成结构）。实际上，所谓的“理解”既包括对数学对象的理解，又包括从数学的角度去理解现实世界，可以概括为如图2所示内容。

一般而言，语言、思维与理解紧密相连。林崇德在《发展心理学》中提到，语言在小学生基本思维的发展中扮演着重要角色，它能够促进思维的深刻性、广阔性、批判性和自我监控能力的提升。“数学说理”是通过数学语言来表达数学思考的过程。因此，“数学说理”中的“说”不仅包括外在的表达，还包括内在的思考。内在思考与外在表达相互作用，只有思考清晰，才能表达明白。

二、思行：无缝融合，有理说理促理解

数学教育应立足于学生的视角，实现多维度融合，引导学生思考，倡导有理有据的说理，以逻辑的方式推进，直击数学知识的本质，从而培养学生的数学思维能力，达到“真理解”的境界。

（一）创造“说”的机会，以“寻”促理解

1.课内多说，孕育“理”

在课堂上，教师应为学生提供“说理”的空间，让学生有理可说，从而孕育“理”。为此，需要把握两个关键点：一是“说”的内容，可以结合机械性问题（如判断对错）、识记性问题（如知识点的回忆与陈述）、理解性问题（需要思考后回答）和应用性问题（需要综合思考并应用于问题解决）四种类型进行教学，其中机械性问题因思维含量较低，应适量使用；二是“说”的时机，可以在复习、新知探索、练习等环节根据需要分层设置说的机会，并将个体说理与同伴互助结合起来，以深化“说”的深度，促进更深刻的理解。

2.课外延伸，激活“理”

除了课堂上的说理，还可以根据学生的能力水平和发展需求，采用共性与个性结合的方式设计分层作业，将“数学说理”作为个性化作业的一部分。例如，在教学“乘法运算律”后，可以提出问题“56×13+87的结果与 56×（13+87）的结果是否相等？”并让学生说明理由。有的学生认为相等，因为13和87可以凑整，都可以先计算13+87；有的学生认为不相等，因为两边的结果不同；还有的学生认为不相等，因为左边只有13个56，不能将13和87合并。通过说，道理会更加清晰。

通过课内多说、课外延伸，适当扩展“说”的时间和空间，学生就能在“寻”中理解，“理”不再局限于书本，而是变得更加生动活泼。

（二）适切启发“说”的方式，在“探”中理解

数学思维活动往往以内隐的形式默默进行，尽管称之为“说”理，但“说”并不仅限于口头表达，它可以采用多种表征方式，通过“说”使思维可视化。

1.用文字表达“理”

在日常生活中，教师可以指导学生运用文字来表达思维过程，通过在原有思维的基础进行加工，从而实现清晰、有逻辑的推理，提升语言组织能力和理解能力。例如，对于“将4653200000改写为以‘亿’为单位的数，是否为46亿？请阐述你的观点”，以下是一些学生的想法（如图3）。

显然，学生B和学生C在阅读、提取和理解数学信息上表现得更为出色。学生B展现了单点思维结构，而学生C则达到了关联结构水平。相比之下，学生A误将问题理解为求近似数。在这一过程中，学生通过文字表达了对问题的感知、分析和描述，形成深刻的体验，体现了思维的严谨性。

2.借图形表征“理”

与文字相比，图形更能形象地外化思维过程。例如，学生可以通过图形来表征0.4和0.40相等的道理（如图4），从直观的图中找到相应的计数单位来支撑，在清晰表达思维的同时实现对本质属性的深度理解。

3.以符号表示“理”

符号是数学表达和思考的重要工具，它具有简洁性、概括性和通用性，能够将特殊问题一般化、将复杂问题简单化。在教学过程中，教师应培养学生的符号意识，引导学生合理使用符号来表达“理”。

例如，为了加深学生对乘法分配律的理解，并加强对其意义的转化和互译，从而构建自我认知体系，笔者从元认知的角度出发，在文字表达现象和提炼规律的基础上提出了说理的要求：用你喜爱的方式表示乘法分配律，并说明你的理由。于是，有的学生表示为“（□+☆）×△=□×△+☆×△，即（□+☆）个△相乘等于□个△加上☆个△”；有的学生将图形与符号结合起来进行说理（如图5）。在此基础上，笔者提出了“（a+b）×c=a×c+b×c”这一符号表征方式，既增强了学生的符号意识，又表达得简洁明了。

（三）适宜创生“说”的层次，在“研”中理解

为了提升学生在说理过程中的理解层次，教师可以构建“说”的不同层次，设置“小门槛”，提供“大空间”，使学生能够轻松进入“说”的领域，从而在“研”中深化理解，促进思维的进阶。

1.具身说理，激活经验性理解

在日常生活中，学生对数学知识已经有一些自然的感悟和初步的认知。通过创设情境，让学生进行具身说理，可以唤醒他们的经验。例如，教学“两点间的距离”这一概念时，可以设计数学说理活动：小倩要去图书馆，走哪条路线最近，为什么？（如图6）尽管学生可能会本能地选择最短路线，但这种理解往往是表面的，因为他们并未理解背后的数学原理。通过引导学生用数学的视角观察世界，建立数学与生活的联系，逆向推导数学知识，可以实现经验的改造与重组，使学生深刻理解“两点间的距离”概念，并体验数学的魅力。

2.应用说理，达成工具性理解

理解能力的提升需要实践应用的支持。设计应用说理题，可以唤醒学生的应用意识，引导他们运用概念、原理等来判断某一事物是否为概念的具体例证，从而实现对概念的工具性理解。例如，在讨论三角形的概念时（如图7），学生可以从四个图形中寻找由三条线段首尾相接围成的图形，通过逆向分析来明确三角形的本质属性。

3.关联说理，实现结构性理解

在具身说理和应用说理的基础上激活经验性理解和工具性理解，找到知识的本质与非本质属性之后可以进一步进行关联说理，以帮助学生将知识纳入适当的认知图式中，实现结构性理解。例如，在学生了解了三角形的分类之后，教师可以提出“一个三角形被信封遮住两个角，这是一个什么三角形？”这样的开放性问题。学生可以从角和边两个方面进行分析，并联系三角形的类型，从而理解分类标准的不同会导致同一个三角形属于不同的类别。

4.迁移说理，获得创新性理解

当学生的理解达到结构化水平后，下一步是向创新性理解迈进。虽说是创新，但并非无中生有。教师需要为学生搭建“桥梁”，以促进他们的迁移创新。例如，在探索了“三角形的内角和是180度”之后，可以提问：“你能想办法求出一个四边形的内角和吗？”学生可能会提出多种方法，如利用长方形、正方形的特性，使用量角器测量，或者将内角剪下拼成一个周角等。通过这样的说理过程，学生可以运用已知的数学知识进行推理，不断迁移，从而深入思考并理解。这样，他们甚至能够对五边形、六边形……n边形的内角和进行合理推理。

当然，“说”虽然只是一种表达方式，但它能够有效地将“看”与“想”联系起来。学生在“说”中寻理、探理、研理，不但有助于发展数学眼光、数学思维和数学语言能力（“三会”能力），使理解水平不断得到提升，还能在“说理”中实现真正的理解。

（责编 金 铃）