关注热点寻根溯源：旋转图形求解策略

1 图形旋转角度问题

对于图形中有关角度的旋转问题，要在掌握构图的基础上，准确掌握旋转痕迹的位置，尤其要注意旋转中心是否为某条边的中点，折痕是否为某个角的角平分线或某条边的中垂线等，这些特殊的位置对于解决这类问题往往是非常有用的，毕竟利用这些折痕我们往往可以建立起与新的基本图形之间的关系，也为后续计算旋转以后新的图形中的某些量做好铺垫［1］.

例1阅读材料：我们知道，角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线在单位时间内以固定的角度绕其端点沿某一方向旋转，经过不同的旋转时间都会形成不同的角．在行程问题中，我们知道：运动路程＝运动速度×运动时间.类似的，在旋转问题中，我们规定：旋转角度＝旋转角速度×旋转时间．

例如（如图1），射线OM从射线OA出发，以10°/s的旋转速度（称为“旋转角速度”）绕点O逆时针旋转．旋转1 s得旋转角度∠MOA＝10°×1＝10°，旋转2 s得旋转角度∠MOA＝10°×2＝20°，……，旋转t s得旋转角度∠MOA＝10°×t＝（10t）°．

问题解决：如图2，射线OA上有两点M，N．将射线OM以10°/s的旋转角速度绕点O逆时针旋转（OM最多旋转9 s）；射线OM旋转3 s后，射线ON开始以20°/s的旋转角速度绕点O逆时针旋转，如图3所示．设射线ON的旋转时间为t s．

（1）当∠MON＝20°时，求t的值；

（2）如图4，OM，ON总是在某个角∠AOB的内部旋转，且当ON为∠AOB的三等分线时，OM恰好平分∠AOB，求∠AOB的度数．

解：（1）当∠MON＝20°时，10（t+3）-20t＝20或20t-10（t+3）＝20，解得t＝1或5.

（2）由题意，可得∠AOB＝2∠MOA，∠AOB＝3∠NOA或∠AOB=3/2∠NOA，所以2×10（t+3）＝3×20t或2×10（t+3）=3/2×20t，解得t=3/ 2或6，则∠AOB＝90°或180°

点评：本题主要是有关几何变换的综合题，考查旋转变换问题，解决这类问题的核心点是学会用参数构建方程，在此基础上利用分类讨论的思想解决问题．

2 图形旋转面积问题

对于某些旋转之后求面积的问题，关键是将题目中的有些线段在用设定的字母表示出来的基础上，利用这些线段求出相应图形的面积.在利用求得的线段长度表示图形的面积时，往往涉及旋转以后的图形的有关性质，如矩形、菱形、直角三角形、切线的性质及等边三角形等知识点，对学生的观察能力、运算能力及推理能力要求都比较高.

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．

3 图形旋转周长问题

对于有关求解旋转图形的周长问题，需要熟练掌握矩形以及轴对称图形的有关性质，在准确理解几何图形特征的基础上，准确抓住旋转前后图形中不变的量，尤其是不变的线段和不变的角度，图9然后结合三角形全等或者相似的知识点，找出所要求的图形中有关线段的长度，从而可以求得所求图形的周长［2］.

点评：本题是有关图形旋转几何变换中一道综合题，涉及了直角三角形、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、求二次函数的最值等基本知识点，解决问题的核心仍然是在合理作出辅助线的基础上，充分利用参数构建二次函数，然后利用二次函数的有关性质来解决问题．

参考文献：

[1]赵一曼.旋转法在初中平面几何题中的解题运用[J].数理化解题研究（初中版），2014（12）：19.

[2]刘国庆.初中几何旋转问题的教学思考[J].中学数学教学，2012（4）：21-23.