含特殊角几何问题的方法生长探析

摘要：特殊角在初中数学几何图形中扮演着举足轻重的角色，有着重要的地位.本文中通过一道中考压轴题的方法探析和变式，归纳出利用常见的基本图形来解决此类问题的数学模型，达到了“会一类，通一片”“一题多解，多题一解”的效果，真正实现减负增效.

关键词：特殊角;方法;生长

“教育即生长，生长本身就是目的”.学生数学学习既是知识、方法、经验、思维生长的过程，更是学生生命体生长的过程[1].我们常把30°，45°，60°以及这些角的补角称为特殊角.之所以特殊，主要在于当直角三角形含特殊角（锐角）时，三角形的三边长存在着特殊的比例.可想而知，特殊角在初中数学几何图形中扮演着举足轻重的角色，有着重要的地位，它们经命题者变式生长出一道道精彩的美题.

基于近几年数学中考中有关特殊角的几何压轴题频繁出现，笔者结合特殊角几何问题，浅谈一下解决该问题的方法如何生长.

1 试题呈现

2 解法探析

2.1 构造“三垂型”基本形，利用全等三角形

2.2 构造“一线三等角”基本形，利用相似三角形

“一线三等角”基本图形是一种常见的构建三角形相似的方法，该图中虽不存在等角，但可利用45°的角去构造“一线三等角”的基本模型，从而化隐为显，化难为易，再利用相似三角形的基本性质列出方程.

其实，“三垂型”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，是特殊模型到一般模型的生长，它们就是我们所熟悉的“Ｋ字型”.构造“Ｋ字型”基本图形，可解决几何中常见的几何问题.

2.3 构造“辅助圆”基本形，利用两点间距离公式

“辅助圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等、半径相等、直径所对的圆周角是直角等一系列知识点，灵活多变.此模型常用于求定角的位置、求动点的运动路径长、定点到动点的最值等问题.

2.4 构造“半角”基本形，利用旋转和勾股定理

“半角”模型也是一种常见的基本图形，该模型常以正方形、等腰直角三角形为背景，这类问题一般利用旋转完成，可以得到全等三角形，进而得到线段之间的关系.

以上四种解法虽截然不同，但它们存在着一定的共性和规律.第一，四种解法都是通过构造基本图形，利用基本图形的特征、结论和解题策略进行解答；第二，这四种基本图形的生长元相同，由特殊角进行构造；第三，解题过程中，都是利用全等或相似的性质，通过列方程得出答案.因此，以上生长探究符合“一题多解，多解归一”原理.

3 变式生长

教师除了要提高学生的解题能力，更重要的是减轻学生的解题负担，还应教会学生“多题一解”，达到“会一题，通一片”.请看以下生长变式.

3.1 变式生长之一：同一背景下改变特殊角的度数

3.2 变式生长之二：同一背景下改变问题

3.3 变式生长之三：改变几何背景

如图12，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点Ｅ，Ｆ分别在线段BC和射线DC上.若BE＝1，∠EAF=45°，求DF的长.

此变式是把原有的直角坐标系背景改为以矩形为背景，还是可以构造基本图形来求解.请读者尝试求解.

纵观以上变式，虽然特殊角度、问题、几何背景都有所变化，但仍是构造基本图形进行解答.主要原因是这些变式与例题存在着相同的本质，那就是在几何背景下存在特殊角.如果教师能教会学生抓住问题的本质，那么就可以达到预期的目的.

4 有关含特殊角几何问题的教学思考

4.1 一题多解，培养学生的创造思维

著名的数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生.”教师若能进行对“一题多法的探索、一题多问的发散、—题多变的尝试”的二度开发，这本身就是对解法之间的联系、方法本质的深度挖掘，努力追溯问题背景及一般的结论[2].笔者让所教的九年级学生独立完成此例题，发现大多数学生用的是第三种解法（构造“辅助圆”），也有少部分学生用了第一种解法（构造“三垂型”），只有一个学生提出想构造“半角型”，但没有成功.可见，本题的最优解法是构造“辅助圆”.

4.2 变式生长，培养学生的归一思维

上面的例题和变式看似不同，却有着共同的本质，可以称得上是多题一解.数学问题千变万化，仅仅依靠题海战术是很难抓住数学的本质的.我们应该由表及里，发现题与题之间的内在联系，抓住问题的本质、实现有效解题.一题多解注重学生思维的广度，多题一解更善于挖掘学生思维的深度，二者并不矛盾并相互依托[3].因此，在数学的解题教学中，教师要让学生的思维既可发散又可聚合，做到收放自如.

4.3 关注模型，培养学生的解题思维

通过对例题的解法探析，我们不难发现初中几何中含特殊角的探究问题可以归结为数学模型问题的求解，所以教师在平时的教学中要从一些简单、熟悉的基本图形出发，让学生熟练掌握常见基本图形的解题方法，进而将复杂几何问题模型化，逐步使学生做到“多题归一”“多解归一”，真正实现减负增效[4].

参考文献：

［1］褚水林.生长型数学专题复习课探析[J].中学数学教学参考，2018（14）：19-22.

［2］沈岳夫.抓住特殊角度 探求一题多解[J].数学教学，2017（2）：23-26.

［3］袁劲松.关注基本图形，玩转45°特殊角[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（10）：26-28.

［4］刘震.当特殊角遇上K字型[J].初中数学教与学，2018（23）：33-35.