结构化思考，模型化表达：几何图形探究

摘要：通过对一个动态变化的几何图形展开教学分析，引导学生从猜想到验证、从定性到定量，进一步体验几何研究的基本方法，形成结构化思考的意识；从动中找静、动中寻异，精准述异，启发学生运用运动变化的观点分析图形，培养学生的数学理性思维，有效促进数学核心素养落地.

关键词：运动变化；逻辑推理；模型

九年级综合复习阶段，教师常通过挖掘一道题的数学本质与内在学习线索，组织相关的数学探究活动，从而完成一节课的教学任务，以此达成多维目标.本例通过对一个几何图形的分析研究，让学生经历几何命题的提出和证明过程，增强逻辑推理能力；经历图形分析与比较的过程，会用准确的数学语言描述研究对象的变化；借助图形分析，形成解决问题的思路，发展模型观念.

1 问题呈现

如图1，正方形ABCD中，E是边AD上的一动点，从点A出发沿AD方向运动，连接BE交对角线AC于点F，作FG⊥BE交边CD于点G，连接BG.

问题1根据图中的信息，你能得到哪些结论？

设计意图：本问题看起来过于开放，设计时曾想提供些许支架，让学生的思考更聚焦，但会失去本例的学习目标之一——“有序”意识，故仍坚持原设问，引导学生提取储备信息，如特殊三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、特殊四边形的性质、圆的性质等，经过初步梳理，得到关于几何图形中边、角间的位置和数量关系.

2 教学实施

学生在独立思考、直观猜想、推理论证后，得出的结论显然是凌乱的，教师引导学生对得到的结论进行了分类记录，如：

2.1 在探寻结论中学会“有序”思考

2.2 在变量研究中体验“模型”作用

问题2以上结果均为点E从A运动到D的过程中固定不变的关系，运动变化过程中，哪些量会发生变化？依据是什么？

设计意图：几何图形在变化的过程中，存在一些固定不变的量或关系，如前面所得的结论，都是固定不变的关系；同时也存在会发生改变的量或关系.那么变化过程中哪些变化的关系值得研究？如何研究？本环节要求学生对变化的关系进行讨论，引导学生利用图形的对称性等性质，直观理解不同图形面积的变化趋势，能用适当的函数刻画变量间的关系，预测变化结果，探究定性与定量的关系，体验函数建模的过程； 促进学生体会和运用数学思想方法，获得基本活动经验，逐步形成数学核心素养.

设计意图：课程标准提出，从具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义，发展模型观念.用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程[2].本例图形变化中，如何设元是关键，不同的设元会得到不同的模型，故教师需引导学生进行必要的优化，因为E是AD边上的动点（一般设AE＝x）；而求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程，过程中涉及多个变量，如何应用已知条件进行转化，学生会存在困难，教师需要启发学生结合图形之间的关系进行思考. 建立数形联系，构建函数的直观模型，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明，把握问题本质，明晰思维路径.

图3由于△AEF与四边形EFCD的面积均非基本函数，教师此时借助几何画板呈现图象（图3），观察到△AEF的面积在点E的运动过程中越来越大，而四边形EFCD的面积则越来越小，函数模型准确刻画了各图形面积不同的变化过程.

2.3 在整理反思中归纳“思维”路径

（1）整理

问题思考路径：图形变化—不变的量—变化的量—如何变—模型价值.

问题解决步骤：适当设元—列表达式—分析变化过程.

（2）思考

对平面几何问题，可有以下思维路径（如图4）：

3 教学反思

3.1 选择内容要关注核心知识

九年级复习过程中，内容的选择应注重不同主题单元的有机关联，让知识上下贯通，形成网络结构，同时，要注重引导学生形成“一般观念”，体现数学的整体性与系统性.如本例通过在动态的图形中观察研究数学对象的“变”与“不变”，“如何变”，既让知识结构化、方法有序化，也使学生能积累更高层次的问题解决观念.

3.2 重视学生思维的深度参与

寻找结论时呈现结果的杂乱，显示了学生学习过程的自然参与，凸显了“有序思考”的地位.从不变到变化，从猜想到验证，从广泛到聚焦，本例设计有层次、有关联及系列化的问题串进行驱动，可以让学生有效投入到丰富多彩的学习活动中，让学生有充分的体验过程，发现、提出问题，并用数学的思维思考、解决问题，用数学的语言表达问题，这种充满理性思维的学习过程，是走向深度学习的关键.

3.3 重视思维方法的显化提炼

培养学生形成正确的思维方法是数学教学的根本目标.本例中，引导学生“按序”将文字语言和图形语言互译，是思维方法；渗透变化与对应的思想，通过对运动变化的问题进行量化研究，进一步理解变量间存在的对应规律，并形成用函数模型解决问题的策略，也是基本的数学思维方法.而这，都需要在教学中设计从内隐到外显的逻辑通道.

参考文献：

[1]章建跃.章建跃数学教育随想录：上卷[M]. 杭州：浙江教育出版社，2018：411.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：10.