流体力学场论知识的教学衔接探索

摘要：流体力学的相关课程是理工院校力学、航空航天、机械等相关专业的核心课程，其中要运用到数学中场论相关的基础知识。然而，高等数学中场论教学注重的是逻辑性及严谨性，这与流体力学更注重物理意义不同，学生在学习流体力学遇到场论相关符号时，往往难以理解其物理本质。针对高等数学与流体力学中场论知识的衔接问题，本文以流体力学用到的梯度、散度、旋度等为例，探讨了场论知识衔接的简单化、形象化与启发化教学方法及其具体应用方式。

关键词：流体力学；场论；知识衔接；教学方法；形象思维

中图分类号：G642.0文献标识码：A

ExplorationofTeachingConnectionofFieldTheoryinFluidMechanics

LuWeiyu1*XiangXin2HongShuli3

1.SchoolofPhysicalandMathematicalSciences，NanjingTechUniversityJiangsuNanjing 211816；

2.SchoolofAircraftEngineering，NanchangHangkongUniversityJiangxiNanchang330063；

3.CollegeofMechanicalandAutomotiveEngineering，NingboUniversityofTechnologyZhejiangNingbo315211

Abstract：Therelatedcoursesoffluidmechanicsarethecorecoursesofmechanics，aerospace，machineryandotherrelatedmajorsinscienceandengineeringcolleges，inwhichthebasicknowledgerelatedtofieldtheoryinmathematicsshouldbeapplied.However，theteachingoffieldtheoryinadvancedmathematicsfocusesmostlyonlogicandpreciseness，whichisdifferentfromtheemphasisoffluidmechanicsonphysicalmeaning.Whenstudentsencountersymbolsrelatedtofieldtheoryinfluidmechanics，theyoftenhavedifficultyunderstandingitsphysicalessence.Aimingattheconnectionoffieldtheoryknowledgebetweenadvancedmathematicsandfluidmechanics，thispapertakesgradient，divergence，curlasexamplestoexplorethesimplification，visualizationandenlightenmentteachingmethodsoffieldtheoryknowledgeconnectionandtheirspecificapplicationmethods.

Keywords：Fluidmechanics；Fieldtheory；Knowledgeconnection；Teachingmethods；Imaginarythinking

流体力学相关课程是理工院校力学、航空航天、机械等相关专业的核心课程。在这些课程的教学中，不可避免地涉及场论相关的知识，该知识是高等数学中场论知识的延续。但由于场论知识在高等数学教学中并非重点。目前在高等数学教学中，和场论相关的教学课时和内容较少，且在教学中，其与力学或物理学的联系较为松散，相关例题也较少。此外，高数教学注重逻辑性和严谨性，主要运用学生抽象性思维，配图及形象化表达较为稀少，使学生对场论物理意义的理解变得较为困难。

通常，理工科学生在大一学习高等数学，而流体力学的相关课程则往往安排在大三甚至大四学习，这相隔的一年甚至以上时间使同学们对场论知识产生了遗忘。这样，如果在没有对场论知识进行衔接教学的前提下直接教授以场论符号表达流体力学方程、公式，会使大部分学生产生学习障碍，甚至影响以此为基础的后续学习。因此，本文针对高等数学与流体力学场论知识的衔接问题展开了探讨。

一、高等数学场论教学的特点

（一）场论的内涵

目前，“场论”这一词汇主要有数学、物理学和语言学上的含义。作为数学上的概念，“场论”即探讨某种物理量（场）在空间分布和变化规律的理论［1］。而在物理学和语言学上，“场论”前通常添加定语，如经典场论、量子场论、语义场论，其中，物理上的场论与数学上的场论具有密切关联性。例如，电磁场理论［2］涉及的麦克斯韦方程组就是用数学的场论符号表达，其他的量子场论［3］、广义相对论性引力场论［4］等还涉及更深层次的数学知识。

本文所述“场论”特指数学中的场论概念，即有关梯度、散度、旋度运算的理论，其主要应用对象为经典力学，包括流体力学在内。

（二）“场论”知识在高等数学教材中的地位及分布

场论知识在高等数学教学中并非重点。以高等教育出版社出版的《高等数学（上册）》教材为例［5］，场论知识仅出现在第三章第五节的第三小结（3.5.3场论——梯度、散度、旋度）中，该部分内容总共仅有9页，且非教学重点。而以科学出版社出版的《高等数学（下册）》为例［6］，梯度、散度、旋度则分别分布在8.6.2（梯度）、10.6.2（通量与散度）、10.7.2（环量与旋度）这三小节中，这三个概念分别与方向导数、高斯公式与通量、斯托克斯公式与环量这些概念相联系，在逻辑上更为合理，但没有以“场论”这一统一概念出现。

（三）高等数学重严谨、轻物理的特点

高等数学对场论的教学主要由定义、定理及其证明构成，这样保证了数学思维的严谨性。此外，教材中的例子很少，尤其是与自然科学，如电磁学、流体力学相关的例题。相对而言，一些国外的教材案例更为翔实，更适合自学（例如CallahanJ.J.编写的AdvanceCalculus［7］，其中例题和示意图较多）。

以高等教育出版社出版的《高等数学（上册）》［5］教材为例，在定义3.5.6中给出了无源场严格的数学定义。但是，即使学生对无源场的数学表达完全理解，还是很难建立该数学表达与实际矢量的空间分布或物理状态间的关联性。此外，教材对于这些重要的定义或定理没有配图。尽管示意图表达的一般是特殊情况，不具有普适性，但对于抽象性的数学表达，如果能配上直观的示意图，对学生理解其蕴含的物理意义是十分必要且有帮助的。

二、流体力学中涉及的场论知识举例

很多流体力学方程或公式以场论形式书写。以NS方程为例，目前，主要有三类表达形式（可参考文献［8］），包括写成偏导数展开的形式、矢量及场论形式、张量形式。通常在本科教学阶段采用矢量及场论形式表达各类流体力学方程，这样在补充场论知识的衔接教学后，这种形式的方程能兼顾书写的方便及物理意义的相对直观性。

在流体力学中，涉及大量场论表达式。常用的微分形式可压缩连续性方程［9］如下：

ρt+·（ρV→）=0（1）

该方程涉及散度。又如，涡量的定义［9］为：

ω→=×V→（2）

该式涉及旋度。此外，欧拉静平衡方程［10］为：

f→=1ρp（3）

该方程涉及梯度。在场论的衔接教学中，一定要结合这些方程进行讲解，这样可以使同学们同时加深对场论知识和流体力学方程的理解。

三、流体力学场论衔接的具体实践探索

针对高数教学中重普适性、严谨性、抽象性，轻特殊化、物理化、形象化的特点，笔者认为流体力学场论衔接的教学策略有两点。一是不必苛求普适性与严谨性，可以采用特殊化、简单化的案例；二是应采用图形化与公式化相结合的方式。笔者结合自身的教学经验及上述策略，给出了以下针对具体场论概念的教学实践探索。

（一）散度概念的教学实践

散度即衡量矢量场局部“发散程度”的量，其在数学上由“通量”的极限表达。在流体力学教学中，笔者推荐图1的三张示意图作为散度的形象化表述。

若图示矢量场为速度场，则由散度在二维直角坐标系下的计算公式［5］：

·V→=Vxx+Vyy（4）

则很容易地可以计算得到图1（a）、图1（b）、图1（c）微元处的散度分别为4dV/dl、-4dV/dl及0，对应的矢量场在微元表面则分别是发散、收敛及贯穿的。以图1（a）为例，其对应散度为正（矢量场发散），结合可压缩连续性方程式（1），如果忽略密度ρ在微元尺度下随空间的变化，可得ρ/t<0，即由于流体从微元控制体中流出，导致该处密度随时间减小（不考虑源和汇时）。这样在教学上，通过对散度意义结合数学公式及连续性方程的教学，使学生对散度概念、连续性方程、可压缩流动等概念有更深的认识。

（二）旋度概念的教学实践

旋度，即反映矢量场局部“旋转程度”的量，其在数学上由“环量”极线表达。

这里建议以图2的旋度示意图为例。若图中正方形为刚体，假设其四边中心处速度为dV，且方向为绕正方形中心顺时针旋转，容易求得刚体的旋转角速度ωR为：

ωRk→=-2dVdlk→（5）

这里负号是由右手定则确定，k→为单位矢量且正方向为纸面向外。由式（2）可以看出，流体力学中，涡量的定义即速度矢量的旋度，是个矢量，在二维情形下，该矢量只有一个方向。由二维旋度的定义［5］，可得图2所示涡量为：

×V→=（Vyx-Vxy）k→=-4dVdlk→（6）

这样通过对比，我们可以得到重要的结论，流体力学中涡量是速度场的旋度，其值为对应刚体（速度场相同）旋转角速度的两倍。这样，就厘清了数学中旋度、流体力学中涡量、理论力学中刚体旋转角速度之间的关系及区别。

（三）梯度概念的教学实践

梯度建议与流体力学的欧拉静平衡方程及压力的概念一起进行学习。如图3所示，假设流体微团处在静止的流体中，其表面受到表面力压力，其质心受到体积力（如重力），我们可以从微元的角度列出该流体微团四个面所受压力（单位厚度）。通过分析，流体微团受到x方向的表面力合力为-（p/x）dxdy，y方向表面力合力为-（p/y）dxdy，微元受压力产生的加速度为x、y方向表面力矢量和除以微元质量，即：

f→p=-（pxi→+pyj→）dxdydm=-1ρp（7）

这里用到了梯度的定义［5］。在流体静力学中，流体微团受到的表面力应与体积力平衡，所以可得体积力产生的加速度应为式（3）欧拉静平衡方程。因此，梯度的大小和方向都具有明确的物理意义。

结语

流体力学是理工院校力学、航空航天、机械等相关专业的核心课程之一，其中要运用到数学中场论相关的基础知识。然而，高等数学中场论教学注重的是逻辑性及严谨性，当前教材的形象性与物理意义的表述较弱。流体力学教学中更注重物理意义的理解，学生在学习流体力学过程中遇到场论相关符号时，往往因难以理解其物理本质，造成学习困难。针对高等数学与流体力学中场论知识的衔接问题，本文以流体力学中梯度、散度、旋度为例，深入探讨了场论知识衔接的简单化、形象化与启发化教学策略与方法，并根据笔者的教学经验，给出了具体教学方案，希望能对流体力学场论教学具有指导意义。

参考文献：

［1］谢树艺.工程数学：矢量分析与场论（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］谢处方，姚克谨.电磁场与电磁波（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］周邦融.量子场论［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［4］刘辽，赵峥.广义相对论（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［5］仇久庆.高等数学（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［6］唐月红，曹荣美，王正盛，等.高等数学（下册）［M］.北京：科学出版社，2009.

［7］CallahanJJ.AdvanceCalculusAGeometricView［M］.Berlin：Springer，2010.

［8］吴望一.流体力学（第2版）［M］.北京：北京大学出版社，2021.

［9］庄礼贤，尹协远，马晖扬.流体力学（第2版）［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

［10］王洪伟.我所理解的流体力学（第2版）［M］.北京：国防工业出版社，2021.

基金项目：2021年南昌航空大学教改课题“高等数学思维在气体动力学教学中实践研究”（项目编号：JY21055）

*通讯作者：陆惟煜（1989—），男，江苏淮安人，工学博士，副教授，硕士生导师，主要从事工程流体力学研究。

作者简介：向鑫（1989—），男，苗族，湖南怀化人，工学博士，讲师，硕士生导师，主要从事叶轮机械气动设计研究；洪树立（1986—），男，浙江宁波人，工学博士，讲师，主要从事工程流体力学研究。