高中阶段椭圆轨道定量问题研究

高中物理中的“万有引力与宇宙航行”这一章，探究天体运行的规律，主要分析圆形轨道模型———将真实的行星环绕太阳的椭圆轨道看成圆形轨道，然后应用匀速圆周运动的知识加以处理．这既是基于观测的合理近似，从而大大简化了问题且不失准确性，也是对复杂数学知识的回避，因为椭圆轨道上的动力学规律对数学能力有较高要求．虽然本章大多数的习题是考查圆形轨道模型，偶尔涉及椭圆轨道问题也多集中于定性判断“向心运动”“离心运动”上，但随着高考考查形式的不断变化，关于椭圆轨道的定量计算问题不时出现在全国各地各类考试中，未来很可能成为高考的一个出题热点．本文试着对高中阶段处理椭圆轨道定量计算问题的方法加以归纳，总结一些规律，以图提升同学们对于该问题的处理能力．

１ 方法指引

椭圆轨道问题涉及的物理知识（如在轨道的大多数位置切向、法向都有速度分量）和数学知识（如曲率半径概念的应用）都比较复杂，通常无法直接使用牛顿第二定律列动力学方程．高中阶段用来处理椭圆轨道的规律有以下几个．

１）开普勒三定律

开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．

开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等．

这三条定律是天文学家开普勒总结观测数据得到的，其中第二定律用今天的视角来看实质上是角动量守恒定律，角动量的概念高中没有涉及，所以没法给出证明．通过第二定律可以得到一个重要结论：行星在近日点的运行速度大于远日点的运行速度．第一、第三定律需要高等数学的知识来证明，高中也无法完成．但是这三条定律在教材中明确给出了，考生可以直接应用解题，出题者也可以直接出题考查，或者以信息的方式呈现在题干中，以减轻考生解题负担．

２）机械能守恒定律

椭圆轨道上，对于行星—太阳组成的系统，由于只有系统内万有引力做功，所以这个系统的机械能守恒．我们总是假设太阳是静止不动的，所以具体的守恒方程是：行星的动能＋行星与太阳间的引力势能＝恒量．引力势能公式Ep＝－G Mm/r 在教材上并没有给出，所09151d776305c427c5367e81d9546a91f4f27e376d8291516c3a46d5759ca711以一般出题者会在题干中给出．

可以看出，如果想针对椭圆轨道问题出题，出题者需要考虑到高中教材的限制，将必要的信息提供给考生．相对地，考生也可以根据出题者在题干中给出的信息，获得正确的思路，同时应用开普勒三定律、机械能守恒定律等规律加以解题．

２ 例题选讲

例１ （２０１９年北京卷，有删减）牛顿设想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点就一次比一次远，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．同样是受地球引力，随着抛出速度增大，物体会从做平抛运动逐渐变为做圆周运动，请分析原因．

分析 当抛出速度比较小，抛出点和落点所处范围较小，此时引力可以视为恒力（重力），物体做平抛运动．当速度足够大，抛出点与落点所处范围极大，引力不可再视为恒力，而是指向球心的变力，物体可做圆周运动．这时可以进一步讨论：由此看来，平抛运动只是一种近似，那么在抛出速度不断增大，但物体尚未做圆周运动之前，物体实际的运动是什么？ 根据开普勒第一定律，物体可能做椭圆轨道运动，地球球心是椭圆轨道的一个焦点．

例２ 已知某卫星在赤道上空的圆形轨道运行，轨道半径为r１，运行周期为T ，不计空气阻力，万有引力常量为G．

（１）求地球质量M 的大小;

（２）如图１所示，假设某时刻，该卫星在A 点变轨进入椭圆轨道，近地点B 到地心距离为r２，求卫星在椭圆轨道上的周期T１．