核心素养导向下的深度学习的应用实践探究

【摘要】本文以九省联考数学19题新题型的仿真习题为例，探讨核心素养导向下深度学习在数学教学中的应用实践，通过深入问题解决过程，应用所学知识解决习题，以期提高学生数学核心素养.

【关键词】深度学习；高中数学；课堂教学[HT〗

1 引言

九省联考数学新题型注重深层次思维，预示高考趋势.核心素养导向强调对数学知识的深入理解和灵活应用，符合深度学习理念.本文以数列、不等式来探讨数学的培养实践.

2 实例探究

例1 如果无穷项的数列an满足“对任意正整数i，j（i≠j）都存在正整数k，使得ak=ai·aj”，则称数列an具有“性质P”．

（1）若数列an是等差数列，首项a1＝2，公差d=3，判断数列an是否具有“性质P”，并说明理由；

（2）若等差数列an具有“性质P”，a1为首项，d为公差．求证：a1≥0且d≥0；

（3）若等比数列an具有“性质P”，公比为正整数，且216，315，414，615这四个数中恰有两个出现在an中，问这两个数所有可能的情况，求出相应数列首项的最小值，说明理由．

（1）解析 若a1=2，公差d=3，则数列an不具有性质P．

由题知an=3n－1，则a1、a2对于假设存在的正整数k满足ak=a1a2，

则有3k－1=2×5=10，解得k=113，k不是正整数，得出矛盾，

所以对任意的k∈N*，ak≠a1a2．

（2）若数列an具有性质P，则：

①假设a1<0，d≤0，对任意的n∈N*，an=a1+（n－1）·d<0．

设ak=a1×a2，则ak>0，矛盾.

②假设a1<0，d>0，则存在正整数t，

使得a1<a2<a3<…<at≤0<at+1<at+2<…，

设a1·at+1=ak1，a1·at+2=ak2，

a1·at+3=ak3，

…，

a1·a2t+1=akt+1，ki∈N*，i=1，2，…，t+1，

则：0>ak1>ak2>ak3>…>akt+1，但数列an中仅有t项≤0，矛盾.

③假设a1≥0，d<0，则存在正整数t，

使a1>a2>a3>…>at≥0>at+1>at+2>…，

设at+1·at+2=ak1，at+1·at+3=ak2，

at+1·at+4=ak3，

…，at+1·a2t+2=akt+1，ki∈N*，i=1，2，…，t+1，

则：0<ak1<ak2<ak3<…<akt+1，但an中仅t项≥0，矛盾.

综上，a1≥0，d≥0．

（3）从216，315，414，615中选两个数有6种情况：

216，315;216，414;216，615;315，414;315，615;414，615．

①对于216，414有414216=212为正整数，可判定等比数列an中的项，an=2n－1，首项的最小值为1．

下面说明此数列具有性质P：216=a17，414=229，任取i，j∈N*，j>i≥1，

则ai·aj=2i－1·2j－1=2i+j=ai+j－1，i+j－1为正整数，因此此数列具有性质P.

②对于315，615有615315=215为正整数，认为是等比数列an中的项，an=315·2n－1，首项的最小值为315．

下面说明此数列不具有性质P：315=a1，615=a16，

若ak=a1·a16=330·215，其非等比数列an中的项，因此此数列不具有性质P．

同理：216，315;216，615;315，414;414，615每组所在等比数列an不具有性质P．

题目分析 本题涉及数列性质分析与证明，强调深度钻研抽象概括与应用能力的重要性.

例2 英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx=x－x33！+x55！－x77！+…，其中n！=1×2×3×4×…×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当x∈0，π2时，sinx<x，sinx>x－x33！，sinx<x－x33！+x55！，….

（1）证明：当x∈0，π2时，sinxx>12；

（2）设fx=msinx，若区间a，b满足当fx定义域为a，b时，值域也为a，b，则称为fx的“和谐区间”.①m=1时，fx是否存在“和谐区间”？若存在，求出fx的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；②m=－2时，fx是否存在“和谐区间”？若存在，求出fx的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.

解析 （1）由x∈0，π2，sinx>x－x33！，

得sinxx>1－x26>1－π226=1－π224>12，

所以当x∈0，π2时，sinxx>12.

（2）①m=1时，假设存在f（x）的“和谐区间”，则由－1≤fx≤1知－1≤a<b≤1，注意到1<π2，故a，b－π2，π2，故fx在a，b上单调递增，于是fa=afb=b，即a，b均是方程sinx=x的不等实根，易知x=±π2不是方程的根，

所以当x∈0，π2时，sinx<x，令x=－t，则有t∈－π2，0时，sin－t<－t，即sint>t，故方程sinx=x只有一个实根0，故fx不存在“和谐区间”.

②m=－2时，假设存在f（x）的“和谐区间”，则由－2≤fx≤2知－2≤a<b≤2，若a，b≥0，则由a，b0，π，知fx≤0，与值域是a，b0，π矛盾，故不存在“和谐区间”，同理a，b≤0时也不存在.

下面讨论a≤0≤b，若b≥π2，则0，π2a，b，故fx的最小值为－2，于是a=－2，所以－π2，π2a，b，所以fx的最大值为2，故b=2，此时fx的定义域为－2，2，值域为－2，2，符合题意.

若b<π2，当a≤－π2时，同理可得a=－2，b=2，舍去，当a>－π2时，fx在a，b上单调递减，所以a=－2sinbb=－2sina，于是a+b=－2sina+sinb，若b>－a即a+b>0，则sinb>sin－a，故sinb+sina>0，－2sina+sinb<0，与a+b=－2sina+sinb矛盾；

若b<－a，同理矛盾，所以b=－a，b2=sinb.

由（1）知x∈0，π2时，sinx>x2，因为b∈0，π2，所以b=0，a=0，a=b，矛盾.

综上所述，fx有唯一的“和谐区间”－2，2.

题目分析 该题目涉及泰勒公式、和谐区间和不等式证明的存在性与唯一性判定.

3 结语

分析数列、不等式典型例题，可见深度学习在高中数学教学中的应用及其对学生自主学习、逻辑推理和综合运用能力的深远影响，是数学教育创新和培养学生全面发展的重要途径.

参考文献：

[1]范志晔.核心素养下高中数学的深度学习研究[J].数理化解题研究，2024（12）：24-26.

[2]黄元.核心素养视域下高中数学深度学习之教学探究[J].安徽教育科研，2024（11）：16-17+29.

[3]张兴美.基于核心素养的高中数学深度学习途径研究[J].成才之路，2024（08）：65-68.