聚焦深度学习，凸显高阶思维

【摘要】本文对2022年新高考数学I卷第7题、全国甲卷理第12题比较大小问题从考查内容、情景设置、命题导向、素养考核、能力考查等角度进行评析，结合教学实践对今后的数学课堂教学及高三复习提出建议，以期做到精准备考.

【关键词】深度学习；高中数学；解题技巧

1 引言

新高考数学试题秉承着以“一核、四层、四翼”的高考评价体系为依托，聚焦主干知识，突出考查关键能力，注重基础性、综合性、应用性和创新性，彰显核心素养的命题导向，强调数学本质和问题解决的通性通法，优化问题情境，增强试题灵活性、开放性，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象，使不同层次学生有不同层次区分，充分发挥高考命题的科学选拔功能和全面育人导向作用，对今后的数学教学及高三复习备考都有很好的指导意义.

2 试题呈现

（2022年新高考数学Ⅰ卷第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=－ln0.9，则（ ）

（A）c>b>a. （B）a>b>c.

（C）b>a>c. （D）b>c>a.

该题可谓小巧玲珑，貌似简单实则注重推理与运算，其思维含量高，充分体现能力立意.笔者以此题为例，谈谈自己对相关问题的认识与理解.

3 试题评析

3.1 注重关键能力，突出理性思维，导向教学

本题选取学生熟悉的指数值、对数值、分式值为素材，考查比较函数值的大小，为学生搭建问题平台.本题解法多样，为考生综合应用所学数学知识创造了条件，使不同思维水平的考生都得到充分展示，试题考查内容重点突出，不但体现了新课程标准的基本理念，也体现了对知识的考查侧重于理解和应用的要求，很好地达到了考查目的与选拔功能[1].

3.2 淡化命题形式，关注能力立意，鼓励发散思维

试题形式简单、常规，都是学生日常练过的题目类型，也是新高考卷、历年全国卷考查考点，比如：

（2021年全国Ⅰ卷理第12题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04－1，则（ ）

（A）a<b<c. （B）b<c<a.

（C）b<a<c. （D）c<a<b.

（2020年全国3卷理第12题）已知55<84，134<85，a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）

（A）a<b<c. （B）b<a<c.

（C）b<c<a. （D）c<a<b.

试题重点考查了数学学科基础知识，通过比较大小的考查，恰恰体现了考生数学学习的薄弱环节，也揭示了教师在数学教学中容易忽略的盲区，貌似都是考生比较熟悉的“类型”，给人一种错觉.试题要求学生根据具体问题情境，主动地进行思考，发现新问题、找到新规律、得出新结论，体现了研究性学习、深度学习的理念.鼓励学生多角度、多方位分析和思考问题.以2022年新高考Ⅰ卷第7题为例进行分析.

思路1 设f（x）=（1－x）ex，当x∈（0，1）时，f′（x）=－xex<0，故f（x）在（0，1）上单调递减，且f（1）=0，f（0）=1，则有f（0.1）=0.9e0.1<1，所以0.1e0.1<19，即a<b.

设h（x）=ln（x+1）－x，x∈（0，1），可证得ln（x+1）<x，令x=19，即证c<b.

设g（x）=xex+ln（1－x），g′（x）=（x+1）ex－11－x=（1－x2）ex－11－x，令h（x）=（1－x2）ex－1，可证h（x）在（0，0.1）上单调递增，g′（x）>0，g（x）在（0，0.1）上单调递增，即g（0.1）>g（0）=0，即c<a，所以c<a<b.

评注 采用化归思想，将未知“陌生面孔”转变为“熟悉面容”，即比较两个数（代数式）的大小常采用通性通法——作差法和作商法.

思路2 不妨设a=xex，b=x1－x，c=－ln（1－x），f（x）=lna－lnb=x+ln（1－x） f′（x）=－x1－x<0则f（x）=lna－lnb=x+ln（1－x）在（0，0.1］单调递减，f（x）<f（0）=0，即a<b；g（x）=a－c=xex+ln（1－x）（0<x≤0.1），同思路1，即g′（x）=（1+x）（1－x）ex－11－x>0，即c<a.

评注 通过观察分析a、c与b结构特征，转化相同结构形式，引进变量，建构函数模型，借助函数在某区间内单调性进行比较，从而得出对应函数值的大小关系.

思路3 易知：ex≥x+1，则ab=9e0.110=0.9e－0.1=1－0.1e－0.1<1，即a<b.由f（0.1）=0.1e0.1+ln（1－0.1）=a－c可构造函数f（x）=xex+ln（1－x），x∈（0，0.1），

f′（x）=（x+1）ex－11－x≥（x+1）2－11－x=－x（x2+x－1）1－x>0，f（x）在（0，0.1）上单调递增，则f（x）>f（0）=0，故c<a，易知：ln（x+1）<x，x>0，可令c=ln109=ln1+19<19，即证c<b.

思路4 利用lnx<12x－1x（x>1）与ex<11－x（x<1）则有1+0.1<e0.1<11－0.1=109a<b.

因为a>0.11，c=ln（1+19）<12×109－910=19180<0.11<a，故c<a<b.

思路5 先证：xex>x（x+1），则有a=0.1e0.1=110e110>110×1110=11100=0.11.

再证lnx<12x－1x（x>1），则有c=ln109≤12×109－910=19180，则有a>c.

最后由ex<11－x（0<x<1），推得xex<x1－x（0<x<1），当x=0.1，则有0.1e0.1<19，综上可有：c<a<b.

同样，针对a与b大小比较可采用方式一（取倒数，再放缩）：1a=10e0.1=10e－0.1>10×（－0.1+1）=9=1b，所以a<b.方式二（取对数，再放缩）：0.1e0.1<19e110<109110<ln1091－910<ln109，所以a<b.

评注 利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．适度放缩与灵活变形取值，方法较巧妙，需要学生对相关知识的积累和领悟运用.新高考试题的特点，既重视试题的基础性、通性通法，又注意到试题的梯度和区分[2].

4 教学思考

4.1 教学回归数学本质，注重数学知识的生成过程

数学课堂教学要揭示新授知识与学过的知识的内在联系，这需要教学进度和节奏的“慢”过程.课堂中留足时间让学生理解弄透概念和命题的形成过程，提炼相关的数学思想方法，通过消化、吸收，经历“做数学、说数学”的再创造过程.在问题情境中，引导学生用数学的眼光发现、找出其中蕴含的数学关系，用数学语言予以表达，并运用数学思维进行分析.教师可以在新知问题关键点、理解困顿、求解出错、思维转折等时段进行追问，增加学生对新知理解的梯度、广度、深度，鼓励学生合理质疑和深度学习，培养高阶思维.

4.2 强化“四基”训练，优化单元教学设计

新课标倡导以学生为主体，教师要换位思考，多从学生的角度看问题，预设学生可能出现的认知冲突与思维障碍，重视学生的思考角度与分析脉络，形成知识体系.可以尝试引导学生进行“出声思维”，比如“说数学”，指个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想和方法以及数学学习情感、体会等的数学学习活动，它包括“说知识”“说过程”“说异见”和“说体会”.优化单元教学设计促进学生深度学习，尽可能多地让学生参与到课堂中来，最大限度挖掘思维潜力，同时要重视题型归类、辨析、变式、总结，引导一题多解、一题多变、多题一解，通过归纳提升、变式训练、反思感悟，提高学生的解题能力[3].

4.3 重视新高考命题研究，精准把握备考方向

首先，要高度关注“依据”——《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和《中国高考评价体系》及高考权威部门发布的新政策.聚焦对主干知识、方法、思想的理解和应用，压实通性通法掌握，淡化解题技巧，融入考试“技巧”，注重开放性问题和探究性问题.

其次，要研究透彻“材料”——高考真题.历年高考真题是命题专家集体智慧的结晶，是宝贵的备考资料.研究高考真题高频考点、必考点分布的规律，把握“变化中的不变性”，梳理命题考查方式与特点，多角度研究试题解法、考查方向、问题情境的设计.能从教、学、考、评四个角度来思考命题：如何选材、剪材，如何命题，如何答题，如何分析试卷，以达“操千曲而后晓声，观千剑而后识器”.

再次，要编排适宜的“数学问题”——精选、精练与精讲.根据学生学情，以“四翼”为命题维度，调整日常的测验、考试命题维度.精选设计：知板块专题（第一轮复习常用）；通性通法专题（重点突破）；关键能力提升专题；针对性专题等.

最后，要教会学生“算法”和“算理”——提高学生的算力.在教学中，引导学生对与数学运算有关的算法和算理内容的温习，促使学生对相关知识内容算法和算理的理解与掌握，纠正学生以往运算过程中存

在的错误；要重视具体运算过程的示范、引领，规范演算书写过程；反思总结计算经验，优化计算方法，使数学运算学习从技能习得走向思维发展.

4.4 夯实数学阅读能力，培育良好答题习惯

数学知识的学习和问题的解决都起源于数学阅读.任子朝等人认为数学阅读是文字、数据等材料中获取信息的心理活动过程，不仅包括数学文字语言、符号语言、图象的理解、记忆、认知等过程，还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理想象等一系列思维过程，是区别于一般阅读的复杂的智力活动.在解题策略方面，教会学生学会审题，能够对文字、符号、图形进行转换，提升学生的数学阅读能力.突出通性通法的优点，促进通性通法的内化.教学上多使用最自然的问题解决办法（虽然不一定是最优的方法），提高自我分析问题能力.因此，在复习备考中，要提高学生数学语言的规范性，数学表述的逻辑性和清晰性.这也要求教师在课堂教学中以规范书写进行示范，课下进行面批面改针对性辅导，防范“学而不会、会而不对、对而不全、全而不快、快而不美”现象发生.

【本文系2023年度广州市教育科学规划课题《基于深度学习的高中数学课堂单元教学设计与实践研究（课题编号：202215129）》研究成果；广东省教育科学规划2023年度中小学教师教育科研能力提升计划项目《“说数学”促进高中学生克服数学语言障碍的实践探究》（课题批准号：2023ZQJK001）研究成果；2023年度广州市教育科学规划课题《基于深度学习的高中“说数学”应用于新授课的实践探究（名师专项）》（课题编号：202317074）研究成果】

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]钟进均，朱维宗.从默会知识例析“说数学”[J].中学数学研究，2009（9）：7-8.