数形结合与一般观念视角下的解题教学思考

【摘要】数形结合思想是重要的数学思想之一，而一般观念则是形成良好认知结构的关键要素.两者的结合能让学生在解决陌生复杂的解析几何问题时拥有更为清晰的路径与方向.本文以2024年高考题为例，对数形结合以及一般观念在解题中的重要性进行剖析，旨在给以上两种数学思想方法的培养提供参考.

【关键词】数形结合；高中数学；解题方法

1 真题再现

（2024年新高考I卷第11题）图1中的造型可以做成美丽的丝带，将其看作曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于－2，到F（2，0）的距离与到定直线x=aa<0的距离之积为4，则（ ）

（A）a=－2.

（B）点22，0在C上.

（C）C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1.

（D）当点x0，y0在C上时，y0≤4x0+2.

2 试题解答

选项（A）：原点O在曲线C上且OF=2，根据曲线的定义知O到直线x=a的距离也应该为2，再结合a<0得a=－2，正确；

选项（B）：根据曲线的定义写出曲线C的方程x+2x－22+y2=4.将22，0代入发现等号成立，正确；

选项（C）：从曲线C中解出y2=16x+22－x－22，不妨将左边看作fx，令y=1可得x=2，并且f′（2）=－0.5<0，错误；

选项（D）：因为y2=16x+22－x－22≤16x+22，故 y0≤4x0+2，正确.

综上，答案为（A）（B）（D）.

3 试题评价

本题位于新高考I卷的第11题，是多选题的压轴题.该题以数学文化与数学美为背景，涉及了解析几何中曲线与方程的相关内容，构造了一条新定义的曲线，并研究了这条曲线的方程、横纵坐标的最值以及横纵坐标的约束关系.

3.1 用几何眼光观察，用代数方法解决

对于选项（A），从图形中观察到原点O在曲线上再结合曲线的定义即能在不求出曲线方程的情况下将定直线x=a中的参数a确定下来.这刚好是用“几何眼光观察，用代数方法解决”的数形结合思想的具体体现.类似地，想要快速判断选项（C）正误的一个方法是观察出纵坐标为1的点所对应的横坐标刚好为2，对应的x轴上的点刚好是定点F（2，0）.如果能得到这个事实，那么后面不论是直接用图象判断出曲线上x=2的点所对应的纵坐标并不是最大的，还是说通过导函数判断该点的导函数不为0，从而确定其不是最大值，都能使得整个题目的求解变得开阔.事实上，想要求得曲线纵坐标的最大值并非易事，但这也是数形结合的妙处所在.通过几何观察猜想，辅以代数确认，就能四两拨千斤地化难为易.

3.2 把握研究曲线方程类问题的一般观念

由于学生已学习过利用圆锥曲线的第一定义对曲线的一般方程进行推导，故选项（B）和（D）也要求学生利用定义写出曲线方程并判断点是否在曲线上及横纵坐标之间的约束关系.这在考查类比与迁移能力的同时，也对教师在平时教学中对学生一般观念甚至是一般方法的培养提出了要求.首先，学生必须清楚认识曲线与方程的充要关系，即“曲线上点的坐标都满足方程”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，因为这是理解曲线、方程与函数之间的重要桥梁.其次，有必要让学生在学习后自主归纳总结出求曲线方程的一般步骤以及求曲线方程的相关方法，毕竟这是正确书写曲线方程并进行应用的关键.最后，学习过程中强调“曲线的几何特征—曲线的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的研究过程也十分重要，以避免学生在面对这类新的陌生的问题时没有头绪.

总的来说，该题目不仅考查了学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等素养，还通过新定义的曲线，考查了学生在新情境中解决数学问题的能力，对学生数形结合思想、一般观念的水平提出了要求，体现了题目的创新性和挑战性.

4 类题赏析

对于这一类以数学美为背景考查新定义的曲线，并结合方程、函数、不等式等研究该曲线性质的题型，在高考史上并非首次出现.北京卷在2019年第8题就已经考查了类似的问题，试题如下：

（2019年北京卷第8题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（ ）

（A）①②. （B）①③.

（C）②③. （D）①②③.

试题直接告知曲线方程，并要求曲线经过的整点个数、曲线上的点距离原点的最大值以及封闭区域图形的面积，本质上还是考查曲线与方程相关的数形结合思想与一般观念、一般方法.

对于①整点个数的研究，先考虑x≥0时，转化成方程根的问题进行求解，再通过几何观察得出对称性性质处理x<0的情况，再加上边界的2个情况最后得到6个整点.上述2024年高考题也能命制成类似问题，结合之前的分析， 封闭部分曲线恰好经过3个整点（2，1），（2，－1）与（0，0）.

对于②曲线上的点距离原点的最大值的研究，除了结合①的观察找特殊点，也可考虑借助代数方法如基本不等式：x2+y2=1+xy≤1+x2+y22，可得：x2+y2≤2，即曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.该设问本质上与2024年高考题相同，其选项（B），选项（C）研究的都是边界取值情况.对于上述2024年高考题的曲线，由于其特殊性，封闭部分曲线上的一点到原点距离的最大值刚好就是某个横坐标的最值.

对于③，主要借助的是割补法进行近似求解即可，使用的还是数形结合思想，较为简单.

本题答案选（A）选项.

总的来说，两题看似考查的知识点大不相同，但本质考查的还是曲线方程的零点、最值或者是对称性这些性质等.这其实也正是函数、曲线、方程等一般观念之间的内在联系的体现.另外，“先用几何的眼光观察，再用坐标法解决”的数形结合思想也在贯彻始终.

5 结语

在研究曲线与方程一类问题时，数形结合思想是统领性的存在.中学阶段，我们通常都是给出某条曲线的几何定义后，再通过数形结合的代数方法来进行讨论.事实上，一些细小的几何观察再配合代数与推理便能得到十分有趣的结论.另外，尽管圆锥曲线是考查学生能力素养的关键模块，但也是机械套用泛滥的板块.所谓的“二级结论”“秒杀大招”在不断侵蚀学生的数学认知结构，而学生在面对新问题时却无所适从，这体现的正是一般观念的重要性，也只有拥有了一般观念与方法，学生才有可能在新问题中自信自主地解决问题.因此，教师有必要在该板块教学中渗透、明确、强调这类数学思想方法，以提升学生素养与能力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.