素养指向的数学解题思维及表达

【摘要】高中数学课程标准倡导教师在数学课程教学中着力发展学生的核心素养，同时学生通过数学课程的学习应能够获得“四基”“四能”.本文将数学课标的贯彻实施作为研究背景，以湘教版高中数学必修一第五章“三角函数”章节内容为基础，通过例举与三角函数相关试题和解析的方式从数学基本思想和解决问题的能力两个方面探索高中数学解题教学策略，旨在提升解题教学实效，推动课标落实.

【关键词】高中数学；核心素养；解题技巧

“四基”中的“基本思想”主要包括抽象思想、推理思想和建模思想，与“核心素养”中的数学抽象素养、逻辑推理素养以及数学建模素养息息相关；而“四能”中的“解决问题的能力”主要体现在学生应用所学知识通过想象、运算、数据分析解决实际问题的能力，与“核心素养”中的直观想象素养、数学运算素养以及数据分析素养息息相关.所以，核心素养视域下的高中数学解题教学，教师应重视挖掘“四基四能”与“核心素养”之间的联系，选择既有利于发展学生“四基四能”，又有利于培养学生核心素养的数学习题，辅以解题教学引导提升解题教学实效.

1 核心素养与基本思想

基本思想，是高中数学四基的关键内容之一，其中抽象、推理和建模三大数学思想的下位涵盖了众多的数学思维，如抽象思想的下位包含集合思维、符号思维、数形结合思维等；推理思想的下位包含分类思维、转化思维、归纳思维、类比思维、演绎思维等；建模思想的下位包含量化思维、简化思维、函数思维等.所以，在解题教学实践中，教师可以将三大数学思想下位的数学思维作为切入点，选择能够训练学生数学思维的习题，使学生在解题过程中实现某一数学思维的进步，从而帮助学生获得学科“基本思想”，发展学科“核心素养”.

1.1 数形结合思维

例1 下列命题正确的是（ ）

（A）第一象限的角一定不是负角.

（B）第二象限的角一定会比第一象限的角大.

（C）手表的时针走过了2个小时，所以时针转过的角度为60°.

（D）如果α=5rad，那么α为第四象限的角.

解析 本题主要考查学生对三角函数章“角的概念的推广”一课象限角和任意角概念的掌握.对于选项（A）可以随机举出一个第一象限的负角，如-359°，所以（A）选项错误；对于选项（B）可以随机举出一个第二象限角，如135°，再列举一个第一象限角，如361°，显然361°＞135°，所以选项（B）错误；对于选项（C）钟表时针转过的角属于负角，所以选项（C）错误；对于选项（D），因为1rad ≈ 57.3°，所以5rad ≈ 5×57.3°=286.5°，为第四象限角，故（D）选项正确.

在抽象类数学问题解决中，数形结合思维属于最为基本的一种抽象思想，学生的数形结合思维水平在一定程度上影响着学生的数学抽象能力.

1.2 分类思维

例2 [多选]已知xx≠kπ2，k∈Z，则函数y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx的值可能是（ ）

（A）0. （B）-4. （C）4. （D）2.

解析 本题主要考查学生对三角函数章任意三角函数的定义”一课内容的掌握.由题干信息可知，因为xx≠kπ2，k∈Z，所以sinx≠0，cosx≠0.基于四个象限分类讨论x在四个象限时的y值.

如果x在第一象限，则有sinx>0，cosx>0，sinxcosx>0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=1+1－2=0；

如果x在第二象限，则有sinx>0，cosx<0，sinxcosx<0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=1－1+2=2；

如果x在第三象限，则有sinx<0，cosx<0，sinxcosx>0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=－1－1－2=－4；

如果x在第四象限，则有sinx<0，cosx>0，sinxcosx<0，那么y=sinxsinx+cosxcosx－2sinxcosxsinxcosx=－1++2=2.

通过分类讨论可以确定函数的值域y∈0，2，-4，故选择（A）（B）（D）三个选项.

在三角函数问题的解题中，分类思维是学生最为常用的一种数学推理思想，学生分类思维水平决定着学生在面对一道数学题时是否能够快速找到解题方法，完成解题任务.从而提升学生的解题效率，发展学生逻辑推理素养.

2 核心素养与解决问题的能力

例3 已知函数f（x）=2sin2x－π6+1.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）=0，x∈－π2，π，求x的值.

解析 本题主要考查学生对三角函数章“函数y=Asinωx+φ的图象与性质”一课内容的掌握.

（1）令－π2+2kπ≤2x－π6≤π2+2kπ，k∈Z，

则－π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，

则可以得出函数f（x）的单调递增区间为

－π6+kπ，π3+kπ，k∈Z.

（2）由f（x）=0可以得到2sin2x－π6+1=0，

则有sin2x－π6=－12，

因为x∈－π2，π，

所以可以得出2x－π6∈－7π6，11π6，

则可以得出2x－π6=－5π6，

或2x－π6=－π6，或2x－π6=－7π6，

解得x=0或x=－π3或x=2π3.

学生在解题过程中，能够清晰地表达解题步骤、清晰地呈现解题思路象征着学生拥有良好的数学运算素养和解决问题的能力.

3 结语

综上所述，本文基于高中数学课程标准的贯彻实施，立足“四基四能”与学科核心素养培养，分别从核心素养与基本思想、核心素养与解决问题的能力两个维度概括了高中数学解题教学策略.通过本文上述的理论研究得以明确，核心素养与“四基四能”之间存在着紧密的联系，教师可以将解题教学作为载体，在养成学生基本思想、提高学生解决问题能力的过程中发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养以及数学运算素养.

参考文献：

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