函数单调性在高中数学解题中的应用

【摘要】函数单调性是函数的重要性质之一，也是解决比较大小问题和求方程的解的重要方法之一.本文从函数单调性的定义入手，通过具体例子解释这些问题的解题方法以及选择这些方法的依据，从而总结函数单调性的解题方法.函数单调性不仅是已学过的函数的概念的深度理解，还是后面研究其他函数的有力工具，在高中数学中起着重要的作用.

【关键词】函数单调性;高中数学;解题技巧

函数的单调性是处理数学问题必不可少的工具，广泛应用于各类问题中.新课改理念对学生掌握函数单调性提出了明确要求，但由于函数单调性本身具有一定复杂性，这给学生们的学习带来了巨大挑战，学生面对函数单调性问题时不能灵活处理并恰当选择解题方法，此类现象值得我们思考.

1 单调性在求极值、最值中的应用

一般地，若函数f（x）在点x0的某领域U（x0）内对一切x∈U（x0），有f（x0）>f（x），则称函数f（x）在点x0处取得极大值，x0是极大值点.函数f（x）在点x0的某领域U（x0）内对一切x∈U（x0），有f（x0）<f（x），则称函数f（x）在点x0处取得极小值，x0是极小值点.与此同时，极大值与极小值统称为极值.

例1 设a为实数，函数f（x）=x3－x2－x+a.

（1）求f（x）的极值；

（2）通过分析，得出a的具体取值范围对应曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

解 （1）f′（x）=3x2－2x－1，

如果f′（x）=0，

那么x=－13，x=1．

当x数值不断变化时，f′（x），f（x）的值也随之变化，具体如表1所示.

通过前面的分析计算，f（x）的极大值可以表示为f－13=527+a，极小值可以表示为f（a）=a－1．

（2）根据函数f（x）=x3－x2－x+a= （x－1）2（x+1）+a－1可以得知，当我们取得足够大的正数时，f（x）>0，当我们取得足够小的负数时，f（x）<0，在此情形下，曲线y=f（x）与x轴存在并且只有一个交点.其次，结合f（x）的单调性质：当f（x）的极大值527+a<0，即a∈－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f（x）与x轴的交点有且只有一个，其交点在（1，+∞）上.当f（x）的极小值a－1>0，即a∈（1，+∞）时，该函数的极大值必然大于0，由此可以得出，曲线y=f（x）与x轴也仅有一个交点，这个交点必然在－∞，－13上，最终得出，当a∈－∞，－527∪（1，+∞）时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点．

2 单调性在不等式中的应用

设函数y=f（x）在定义区间I上连续，在I内可导，如果在定义区间I内f′（x）>0，那么函数y=f（x）在I上单调递增；如果在定义区间I内f′（x）<0，那么函数y=f（x）在I上单调递减．

结论1 设R（x）=f（x）－g（x）在区间（a，b）内可导且满足如下条件：

（1）R′（x）>0，R（a）=0时，则有f（x）>g（x）；

（2）R′（x）<0，R（a）=0时，则有f（x）<g（x）．

结论2 设R（x）=f（x）－g（x）在区间（a，b）内可导R″（x）>0且R（a）=R′（a）=0，则有f（x）>g（x）．

结论3 设R（x）=f（x）－g（x）在区间（a，b）内可导R″（x）<0且R（a）=R′（a）=0，则有f（x）<g（x）．

结论4 设R（x）=f（x）－g（x）在区间（a，b）内可导，且R″（x）<0，R′（a）>0，R′（b）<0，R（a）=R（b）=0，则有f（x）>g（x）．

例2 求证：ln（x+1）<x．

证明 令f（x）=ln（x+1）－x，函数f（x）的定义域是（－1，+∞）．

f′（x）=11+x－1．

令f′（x）=0，

解得x=0．

当－1<x<0时，f′（x）>0，

当x>0时，f′（x）<0，

又f（0）=0，

故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值是0，

所以f（x）=ln（x+1）－x<f（0）=0，

即ln（x+1）<x．

例3 当x>0 时，证明不等式sinx+cosx>1+x－x2成立．

证明 令R（x）=sinx+cosx－1－x+x2，

则有R′（x）=cosx－sinx－1+2x，

R″（x）=－sinx－cosx+2=1－sinx+1－cosx>0，

所以R′（x）>R′（0）=0，即R′（x）>0，

所以R（x）为单调递增函数，R（x）>R（0）=0，

即sinx+cosx>1+x－x2．

3 单调性在求方程解问题中的应用

利用函数的单调性的图象特点，将求某一函数解的问题转化为求两函数的交点问题．

例4 求解：x+2－26－x+2=0．

解 令f（x）=x+2－26－x+2（－2≤x≤6），

因为f（x）为在［－2，6］上的单调递增连续函数，且有f（－2）·f（6）<0，即在［－2，6］上仅有一个根．

又把x=2代入时有f（2）=0，即原方程只有一个根x=2．

4 结语

在高中数学函数知识教学中，函数单调性与其他题目有着密切联系，比如，证明不等式、求方程的解.这不仅是高中数学函数学习中的重点，也是高中考试内容中的难点.本文不仅对单调性的概念进行多角度理解，还对在解决数学问题中的应用进行了分类归纳，更深入列举了函数单调性在解决高中数学问题中的应用.对于学习者来说，阅读本文不仅能系统地掌握单调性的基础概念和相关理论，还能了解单调性在各类问题中方法的选择.

参考文献：

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